山东农业大 主 方本堂 第九节连续函数的运算和初等 函数连续性 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第九节连续函数的运算和初等 函数连续性 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 (利用极限的四则运算法则证明) 例如，sinx,cosx连续 >tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增（递减）函数的反函数也连续单调 递增（递减）： (证明略) 例如，y=sinx在[-号，]上连续单调递增， 其反函数y=arcsinx在[一l,1]上也连续单调递增
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调
又如，y=e'在(-0，+oo)上连续单调递增， 其反函数y=nx在(0，+oo)上也连续单调递增 定理3.连续函数的复合函数是连续的」 证：设函数u=(x)在点连续，且(xo)=40· 函数y=f(x)在点uo连续，即limf(u)=f(uo) 1>10 于是 limf[(x)]=limf(u）=f(uo)=f[p(xo)】 x→x0 u→10 故复合函数∫[(x)]在点x连续
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 ( ) . 0 u0 x = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f x 故复合函数 又如, 且 即
1 例如，y=sin二是由连续函数链 y=sinM,H∈(-0，+o0) l=- r∈R* 复合而成，因此y=sin在x∈R上连续 y 1 y=sin X
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例如, 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin
例1.设f(x)与g(x)均在[a,b]上连续，证明函数 o(x)=max{f(x),g(x) w(x)=min{f(x),g(x) 也在[a,b]上连续 证：p(x)=2[f(x)-g(x)川+f(x)+g(x)] w(x)=[f(x)+g(x)-f(x)-g(x) 根据连续函数运算法则，可知p(x),w(x)也在[a,b]上 连续
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: f (x) − g(x) − f (x) − g(x) 根据连续函数运算法则 ,可知 也在 上 连续