主计 方本堂 第四节无穷小和无穷大 一、无穷小 二、 无穷大 三、无穷小和无穷大的关系
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节无穷小和无穷大 一、 无穷小 二、 无穷大 三、 无穷小和无穷大的关系
东农 一、 无穷小 定义1.若x→xo(或x→o)时，函数f(x)→0， 则称函数f(x)为x→x,(或x→o)时的无穷小 特别的若limx=0,称数列{x,}为n→oo时的无穷小. 例如： 1im(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小； x→1 1im1=0,函数1当x→o时为无穷小 x→0X 1 lim 当x→-0时为无穷小 x→-01-x 0函数
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x → ) 时为无穷小. 则称函数 为 (或x → ) 时的无穷小. 特别的若 lim 0, n n x → = { }n 称数列 x 为 n → 时的无穷小
定义1.若x→x。(或x→0)时，函数f(x)→0，则 则称函数f(x)为x→x(或x→o)时的无穷小. 说明：除0以外任何很小的常数都不是无穷小！ 因为 1imC=0=6>0,36>0, x→x0 当0<x-<6时， C-0<6 显然C只能是0！
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x → ) 时 , 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x → ) 则 时的无穷小
定理1.（无穷小与函数极限的关系） Iimf(x)=A三f(x)=A+,其中a为x→xo x→x0 时的无穷小量 证：limf(x)=A x→X0 ε>0,36>0，当0<x-xo<6时，有 f(x)-A<ε 0=f(x)-A lim &=0 x→X0 对自变量的其它变化过程类似可证
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 其中 为 0 x → x 时的无穷小量. 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0 0, 0, 当 0 x − x0 时,有 f (x) − A = f (x) − A lim 0 0 = → x x 对自变量的其它变化过程类似可证
1东农大 主 本 二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在δ>0（正数X),使对 一切满足不等式0<x-xo<6(x>X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x,(x→0)时为无穷大，记作 lim f(x)=co.(lim f(x)=0) x→Xg x->00 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)<-M), 则记作 lim f(x)=+o lim f(x)=-00) x→Xg x→xo (x→0) (x→0)】
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x X ) ( x → ) (lim ( ) = ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x) −M ), 总存在