第七节无穷小的比较 一、无穷小阶的比较 二、等价代换
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七节无穷小的比较 一 、无穷小阶的比较 二、等价代换
等数 第七节无穷小的比较 x→0时，x,x2,sinx,x2sin1都是无穷小 当 x2 观察各极 lim x-→03x x比3x要快得多； sin x lim sinx和x大致相同； x→0 x x2 sin 型) lim 0 龙=lim sin- 不存在.不可比 x→0 x→0 极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不 同
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 观 察 各 极 限 2 2 0 1 sin lim x x x x→ x x 1 lim sin →0 （ 型） = 0 0 不存在. 不可比. 第七节 无穷小的比较 . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x x 2比3x要快得多; sinx和x大致相同;
定义.设，B是自变量同一变化过程中的无穷小， 若1imB=0,则称B是比&高阶的无穷小，记作 B=o(a) 若lim =0,则称B是比a低阶的无穷小 若lim =C≠0，则称B是a的同阶无穷小 若lim B =C≠0，则称B是关于的k阶无穷小； 若lim B =1,则称B是a的等价无穷小，记作0~B 或B~
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 lim = C 0, k 定义. lim = 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, = o() lim = , 若 若 若 lim =1, 若 ~ ~ lim = C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作
等数学 方本 例如，当x→0时 x3=0(6x2);sinxx;t nxx arcsinxx 又如， 1-cosx =lim- 2sin2 lim x-→0 x2 x→0 4() 2 故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小，且 1-c0sx~2x2
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且
东液网 例1.证明：当x→0时，/1+x-1-x 证：1im1+x-1 x→0 x a”-b”=(a-b)(a”-+a”-2b+.+b"-l lim (1+x”-1 0hx[(1+xy”-1+(1+x”-2++1] =1 当x→0时，1+x-1心1x n
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n b