山东农大 主讲人：苏本 第六节极限存在准则两个重要极限 一、准则及第一个重要极限 二、准则及第二个重要极限
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第六节极限存在准则 两个重要极限 一 、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限
等数学 主讲 本 一、准则及第一个重要极限 准则I 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件： (1yn≤xnn(n=1,2,3,··)月 (2)lim yn=a,lim zn=a, n->oo 那么数列{xn}的极限存在，且lim=a.→ n>0 准则 如果函数孔x)、g(x)及h(x)满足下列条件： (1)g(x)x)h(x), (2)lim g(x)=4,lim h(x)=4, 那么lim孔x)存在，且limx)=A
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、准则I及第一个重要极限 如果数列{xn }、{yn }及{zn }满足下列条件 (1)ynxnzn (n=1 2 3 ) 准则 I 准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2) yn a n = → lim zn a n = → lim 那么数列{xn }的极限存在 且 xn a n = → lim
准则I 如果数列{xn}、y}及{zn}满足下列条件： (1yn≤xn≤n(n=1,2,3,·.),(2)lim yn=a,lim2n=a, n-→o 那么数列{xn}的极限存在，且limx=a. 证：yn→4，zm→， 廿ε>0，N1>0,N2>0,使得 当n>N时恒有yn-4<e,当n>N2时恒有zn-d<e, 取N=max{Ni,2},上两式同时成立， a-8<y<a+8,a-8<Zn<a+8 当n>N时，恒有 0-8<Jyn≤xm≤zm<M+8, 即xn-a<e成立， lim x=a. n>o0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得 , 1 n N y − a 当 时恒有 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n 如果数列{xn }、{yn }及{zn }满足下列条件 (1)ynxnzn (n=1 2 3 ) 准则 I (2) yn a n = → lim zn a n = → lim 那么数列{xn }的极限存在 且 xn a n = → lim 上两式同时成立, a − y a + , 即 n a − z a + , n 当n N时, 恒有 a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim . n n x a → = 取N= max{N1 , N2}
山东农业大 等数学 主人：苏本堂 第一个重要极限 sin x 1.lims x→0 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 sinx<x<tanx 故有 1<x<1 sinx cosx (0<x<) 显然有 cOS x< sinx<1 (0<x) X .lim cosx=1,注 sinx .lim x>0 x→>0x
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 第一个重要极限
注 当0<x<7时 0<1-cosx =1-cos x -2sm27<2( 2 .lim(1-cosx)=0 x→>0 返回
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 当 2 0 x 时 0 1− cos x =1− cos x 2 2sin2 x = ( ) 2 2 2 x 2 2 x = lim(1 cos ) 0 0 − = → x x 注 返回