第八节函数的连续性 函数连续性的定义 二、函数的间断点
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第八节函数的连续性 一、 函数连续性的定义 二、函数的间断点
一、函数连续性的定义 定义：设函数y=f(x)在xo的某邻域内有定义，且 limf(x)=f(x),则称函数f(x)在x连续 x→x0 可见，函数∫(x)在点x0连续必须具备下列条件： (I)f(x)在点xo有定义，即f(xo)存在， (2)极限limf(x)存在， X→x0 (3) lim f(x)=f(xo). x→X0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续性的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ;
若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数. 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如，P(x)=a0+a4x+.+anx” (有理整函数) 在(-0，+0)上连续 又如，有理分式函数R()= P(x) 2(x) 在其定义域内连续 只要Q(x)≠0，都有limR(x)=R(xo) x→x0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = →
1东 对自变量的增量△r=x-xo,有函数的增量 △y=f(x)-f(xo)=f(xo+△)-f(xo) 函数f(x)在点x,连续有下列等价命题： lim f(x)=f(xo)-lim f(xo+Ax)=f(xo) x→x0 lim△y=0 tyy=f(x) △x-→0 f(xo)=f(xo)=f(xo") △x 左连续 右连续 Xo xx ε>0,6>0，当x-x=△x<6时，有 f(x)-f(x)=△y<8
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题:
例.证明函数y=sinx在(-0，+oo)内连续 证：x∈(-0，+0) △y=sin(x+△x)-sinx=2 sincos(x+) Ay=2 sin cos(x+) ≤21=Ax→00 即 lim△y=0 △x→0 这说明y=sinx在(-o,+oo)内连续 同样可证：函数y=c0sx在(-o0,+o0)内连续
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例. 证明函数 在 内连续 . 证: x(−, + ) y = sin(x + x) −sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0