8thZ若幂级数定理1.（Abel定理）an=0在x=xo点收敛,则对满足不等式|x|<|xo的一切x幂级数都绝对收敛反之，若当x=xo时该幂级数发散，则对满足不等式x>xo/的一切x，该幂级数也发散证：设anxo 收敛,则必有lim anxo =0,于是存在n0n=0常数M>0,使anxo≤M (n=l,2,...)收敛发散发散x发散收0敛上页目录返回结束机动下页
发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使
nn中xAn≤Manxohtaaano.xoXOXo8ZanrnM|="收敛，Z也收敛当x<xo时XOn=0n=0故原幂级数绝对收敛反之，若当x=xo时该幕级数发散，下面用反证法证之假设有一点x,满足|xi>xo「且使级数收敛，则由前级数在点x。也应收敛，面的证明可知，与所设矛盾故假设不真所以若当 x= xo时幂级数发散，则对一切满足不等式[x|>|xo|的x，原幂级数也发散证毕目录上页下页返回结束机动
当 时, 0 x x 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 x1 1 0 x x 0 x 满足不等式 0 x x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = 证毕
80Z的收敛域是以原点为由Abel定理可以看出anx'n=0中心的区间则用土R表示幂级数收敛与发散的分界点R=0时,幂级数仅在x=0收敛：R=8时，第幕级数在（-00,+)收敛0<R<，幕级数在（-R,R）收敛;在[-R,R]外发散：在x=±R可能收敛也可能发散R称为收敛半径，（-R，R）称为收敛区间（-R，R）加上收敛的端点称为收敛域收敛发散发散x发散收0敛上页目录返回结束机动下页
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, n=0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x = R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散
8an+l定理2.若的系数满足limanx=P,则n→0ann=01)当p0时，R=2)当p =0时, R=∞ ;3)当p=o时，R=0an+1xn+1an+l证：lim= lim|x|=p|xantnn00n-0an1）若p#0，则根据比值审敛法可知当p|x<1，即|x|<时,原级数收敛当p|x|>1,即[x|>一时，原级数发散目录上页下页返回结束机动
x a a a x a x n n n n n n n n = + → + + → 1 1 1 lim lim 定理2. 若 的系数满足 ; 1 R = R = ; R = 0 . 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 x 1 , 原级数收敛; 当 x 1 , 原级数发散. 即 1 x 时, 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时, 即 时, 则 1 x