补充 如果f(t)连续，a(x)、b(x)可导， 则F(e)=f)h的导数F(y)为 F)-=&foh=fbxbw)-farkg 证Fo)-(+/u)h =fu)t-∫fet, F(x)=B(x)](x)-fla(x)Ja'(x)
如果f (t)连续，a(x) 、b(x) 可导， 则F x f t dt b x a x ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数F( x)为 补充 f b(x)b(x) f a(x)a(x) 证 F x f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 f t dt b x ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x F(x) f b(x)b(x) f a(x)a(x) ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x
r dt 例1 求im x0 x2 分析：这是。型不定式，应用洛必达法则， 解 ew=dm。 -e.(cosx)=sinx.ex [e-"dt lim -lim sinx.e-cosx 1 x-→0 x2 →0 2x 回
例1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x 解 1 cos 2 x t e dt dx d , cos 1 2 x t e dt dx d (cos ) 2 cos e x x sin , 2 cos x x e 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 . 2 1 e 0 0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则
例2设f(x)在(-o,+o)内连续，且f(x)>0. 证明函数F(x)= d 在(0，+∞)内为单调增 f(d 加函数 证 u恤=公Ifeh= FN=fi-ffe (rd) 上页页
例 2 设 f (x)在(,)内连续，且 f (x) 0. 证明函数 x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0,)内为单调增 加函数. 证 x tf t dt dx d 0 ( ) xf (x), x f t dt dx d 0 ( ) f (x), 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x
-foo-of roa) f(x)>0,(x>0) f)t>0, (x-)f()>0,(x-)ft)t>0 ∴.F'(x)>0(x>0). 故F(x)在(0，+o)内为单调增加函数 上页 回
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 x x f t dt f x x t f t dt F x f (x) 0, (x 0) ( ) 0, 0 x f t dt (x t) f (t) 0, ( ) ( ) 0, 0 x x t f t dt F(x) 0 (x 0). 故F(x)在(0,)内为单调增加函数
例3 设f(x)在[0,1上连续，且f(x)<1.证明 2x-f(t)t=1在0，上只有一个解。 证 令F(x)=2x-fu)t-1, ·f(x)<1,.F'(x)=2-fx)>0, F(x)在0,1川上为单调增加函数.F(0)=-1<0, F四=1-6ft)t=l-ft>0, 所以F(x)=0即原方程在0,1山上只有一个解
例 3 设 f (x)在[0,1]上连续，且 f (x) 1.证明 2 ( ) 1 0 x f t dt x 在[0,1]上只有一个解. 证 ( ) 2 ( ) 1, 0 F x x f t dt x f (x) 1, F(x) 2 f (x) 0, F( x)在[0,1]上为单调增加函数. F(0) 1 0, 1 0 F(1) 1 f (t)dt 1 0 [1 f (t)]dt 0, 所以F(x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解. 令