§3收敛定理的证明 本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理，为此 先证明两个预备定理， 预备定理1（贝塞尔Bessel)不等式）若函数f在 【一，可积，则 g-+sf地 (1) 其中an,b为f的傅里叶系数.(1)式称为贝塞尔不等 式。 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §3 收敛定理的证明 本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理,为此 先证明两个预备定理. 预备定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在 [ , ] 可积, 则 2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) ( )d . (1) 2 π n n n a a b f x x 其中 a b n n , 为 f 的傅里叶系数. (1)式称为贝塞尔不等 式
证令 S(x)(d cosnx+bsimnme) m 2 n=1 考察积分 【f(e)-Snme'd =∫f产(x)dc-2jfx)Sne)dc+∫S品e)d.(2) 由于 fSdc-2∫f 前页 后页 返回
前页 后页 返回 证 令 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m n n n a S x a nx b nx 考察积分 π 2 π [ ( ) ( )] d m f x S x x π π π 2 2 π π π ( )d 2 ( ) ( )d ( )d . (2) m m f x x f x S x x S x x π π 0 π π ( ) ( )d ( )d 2 m a f x S x x f x x 由于
+(a(cosnvdx+bw)sinnvd) 根据傅里叶系数公式（§1(10）)可得 [xs.6ad-登c+空a+ (3) 对于S(x)的积分.应用三角函数的正交性，有 ∫s2(ae)dx -j没+2 n.eme么sn树 dx 前页 后页 返回
前页 后页 返回 π π π π 1 ( ( )cos d ( )sin d ), m n n n a f x nx x b f x nx x 根据傅里叶系数公式(§1(10))可得 π 2 2 2 0 π 1 π ( ) ( )d π ( ). (3) 2 m m n n n f x S x x a a b 对于 2 ( ) S x m 的积分.应用三角函数的正交性, 有 π 2 π S x x m ( )d 2 π 0 π 1 ( cos sin ) d 2 m n n n a a nx b nx x
jr+含c nt-snat +元2(+ (4) 2 n=l 将3)，(4)代入(2)，可得 0≤∫Lfx)-Sme)'d =fwg空d =1 因而 前页 后页 返回
前页 后页 返回 2 2 π π π 0 2 2 2 2 π π π 1 d cos d sin d 2 m n n n a x a nx x b nx x 2 0 2 2 1 π π ( ). (4) 2 m n n n a a b 将(3), (4)代入(2)，可得 π 2 π 0 [ ( ) ( )] d m f x S x x 2 π 2 2 2 0 π 1 π ( )d π ( ). 2 m n n n a f x x a b 因而
至+空d+swra 它对任何正整数m成立.而，f)dc为有限值， 所以正项级数 ++ n=l 的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式()成立. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) [ ( )] d , 2 π m n n n a a b f x x 它对任何正整数m成立. 而 π 2 π 1 [ ( )] d π f x x 为有限值, 所以正项级数 2 0 2 2 1 ( ) 2 n n n a a b 的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立