§2以21为周期的函数的展开式 上节讨论了以2元为周期，或定义在(-元，π 上然后作2元周期延拓的函数的傅里叶展开式， 本节讨论更有一般性的以21为周期的函数的 傅里叶展开式，以及偶函数和奇函数的傅里 叶展开式 一、以21为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §2 以 2l 为周期的函数的展开式 上节讨论了以 2 为周期, 或定义在 上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式, 本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的 傅里叶展开式, 以及偶函数和奇函数的傅里 叶展开式. ( ] π, π 返回 一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数
一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设f是以2l为周期的函数，通过变量替换： -1或x lt 就可以将f变换成以2π为周期的关于变量t的函数 F0=)若f在上可积则F在x列 上也可积，这时函数F的傅里叶级数展开式是： F经+2a,ox6sna () n=1 前页 后页 返回
前页 后页 返回 一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设 f 是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换: π , π x lt t x l 或 ( ) . π lt F t f 若 f 在 [ , ] l l 上可积, 则 F 在 [π, π] 上也可积, 这时函数 F 的傅里叶级数展开式是: 0 1 ( ) ( cos sin ), (1) 2 n n n a F x a nx b nx 就可以将 f 变换成以 2π 为周期的关于变量 t 的函数
其中 d()cosmd,1,2. (2) 6.=∫F))sinn，n=l,2,. 因为1-，所以F0=f)f于是由L与 (2)式分别得 f-受+a."T+snT (3) 1=1 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 其中 (2) π π π π 1 ( )cos d , 1,2, , π 1 ( )sin dt , 1,2, . π n n a F t nt t n b F t nt n πx t l ( ) ( ). π lt 因为 , 所以 F t f f x 于是由(1)与 (2)式分别得 0 1 π π ( ) ( cos sin ), (3) 2 n n n a n x n x f x a b l l
与 ()cos ds1 (4) A,-/x)sin",n=1,23. 这里(4)式是以21为周期的函数f的傅里叶系数，(3) 式是f的傅里叶级数， 若函数f在【-1，上按段光滑，则同样可由收敛定理 知道 前页 后页 返回
前页 后页 返回 与 这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数, (3) 式是 f 的傅里叶级数. 若函数 f 在 [ , ] l l 上按段光滑, 则同样可由收敛定理 知道 1 π ( )cos d , 0,1,2, , 1 π ( )sin d , 1,2,3, . l n l l n l n x a f x x n l l n x b f x x n l l (4)
f(x+0)+f(x-0) 2 是+a,"Tsim" (5) 例1将函数 f(x)= 0,-5≤x<0, 3, 0≤x<5 展开成傅里叶级数 解由于f在(-5,5上按段光滑，因此可以展开成傅 前页 后页 返回
前页 后页 返回 ( 0) ( 0) 2 f x f x 例1 将函数 0, 5 0, ( ) 3, 0 5 x f x x 展开成傅里叶级数. 0 1 π π ( cos sin ). (5) 2 n n n a n x n x a b l l 解 由于 f 在( 5,5] , 上按段光滑 因此可以展开成傅