§2一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要. 返回
定理13.8（极限交换定理）设函数列{f}在 (a,x)U(K,b)上一致收敛于f(x),且对每个n, lim f(x)=an,则lima,和imf(x)均存在且相等.即 x→X0 00 lim limf (x)=lim limf(x). () x-→x0n-→0 证先证{an}是收敛数列.对任意e>0,由于{fn}一 致收敛，故存在正整数N,当>N及任意正整数p, 对一切x∈(a,x)U(x,b)有 If(x)-f(x)Ks. 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列 { }n f 在 0 0 ( , ) ( , ) a x x b 上一致收敛于 f x( ) , 且对每个 n, 0 lim ( ) , n n x x f x a lim n n 则 和a 0 lim ( ) . x x f x 均存在且相等 即 0 0 lim lim ( ) lim lim ( ). (1) n n x x n n x x f x f x { }n a 0 { }n 证 先证 是收敛数列. 对任意 , 由于 f 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p, 对一切 0 0 x a x x b ( , ) ( , ) 有 | ( ) ( ) | . n n p f x f x
从而|an-an+p上lim|fn(x)-fn+p(x)lse. x→X0 于是由柯西准则可知{an}是收敛数列，设iman=A, 即lim limf(x)=A, n-→00x->x0 下面证明limf(x)=lim limf(x)=A. r->x x→xn->0 注意到 If(x)-A川 sf(x)-f(x)+(x)-aN+aN-Al 只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 从而 0 | | lim | ( ) ( ) | . n n p n n p x x a a f x f x { }n a lim , n n 于是由柯西准则可知 是收敛数列, 设 a A 即 0 lim lim ( ) , n n x x f x A 下面证明 0 0 lim ( ) lim lim ( ) . n x x x x n f x f x A 注意到 | ( ) | f x A 1 1 1 1 | ( ) ( ) | | ( ) | | | N N N N f x f x f x a a A 只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可
If(x)-Af(x)-f(x)+(x)-aN+laN-Al 由于f（x)一致收敛于f(x),an收敛于A,因此对任 意e>0,存在正数N,当n>N时，对任意x∈(a,x) U(x,b),有 1x)-水号和1a,-A水号 同时成立.特别当n=N+1时，有 1)-水号利aA水号 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 由于 f x n ( ) 一致收敛于 f x( ) ， an 收敛于 A , 因此对任 | ( ) ( ) | | | 3 3 n n f x f x a A 和 同时成立. 特别当 n N 1 时, 有 ( , ) x b 0 , 有 意 0 , 存在正数 , 当 n N 时, 对任意 0 N x a x ( , ) 1 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | | | N N N N f x A f x f x f x a a A | ( ) ( ) | | | 1 1 3 3 N N f x f x a A 和
If(x)-Af(x)-f(x)+(x)-aN+aN1-Al 又因为limf1(x)=aw1,故存在6>0，当 0x-,K8时，也有1f,()-ank写 这样，当x满足0<x-x<6时， If(x)-Af(x)-f(x)+(x)-aN+l 这就证明了imf(x)=A. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 1 1 lim ( ) , N N x x 又因为 f x a 故存在 0 , 当 0 0 | | x x 时,也有 1 1 | ( ) | . 3 N N f x a 0 这样 当 满足 时 , 0 , x x x 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | N N N f x A f x f x f x a 1 | | , 333 N a A 1 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) | | | N N N N f x A f x f x f x a a A 这就证明了 0 lim ( ) . x x f x A