《数学分析》课程教学课件（讲稿）幂级数

§1幂级数 一般项为幂函数（一X)”的函数项级数称 为幂级数，这是一类最简单的函数项级数.幂级 数在级数理论中有着特殊的地位，在函数逼近 和近似计算中有重要应用，特别是函数的暴级 数展开为研究非初等函数提供了有力的工具， 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 三、幂级数的运算 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §1 幂 级 数 一般项为幂函数 的函数项级数称 为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级 数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近 和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级 数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 0 ( )n n a x x  三、幂级数的运算 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质

一、幂级数的收敛区间 函数项级数 2a.(=a+u(++u付+ 幂级数 幂级数系数 2a-x,P=a,+a-,)++a,代-x,P+ 注：当x=0时，∑a,x”=a+ax++ax”+. n=0 前页 返回

前页 后页 返回 函数项级数             u x u x u x un x n n 1 2 1 幂级数           n n n n n a (x x ) a a (x x ) a (x x ) 0 1 0 0 0 0 幂级数系数 0 0 1 0 0 n n n n n x a x a a x a x   注：当       时，  一、幂级数的收敛区间

2.幂级数的收敛点与收敛域 ●●】 如果x。∈I,数项级数∑Wn(xo)收敛， n=1 00 则称x为级数∑4n(x)的收敛点， 否则称为发散点 =1 函数项级数∑4，()的所有收敛点的全体称为收敛域 所有发散点的全体称为发散域 前页 后页 返回

前页 后页 返回 2.幂级数的收敛点与收敛域 如果x  I 0 ,数项级数  1 0 ( ) n un x 收敛, 则称x0为级数 ( ) 1 u x n  n   的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n  n   的所有收敛点的全体称为收敛域

例如级数∑x”=1+x+x2+, 当x<1时，收敛；当≥1时，发散； 收敛域(-1,1)；发散域(-oo,-1U[1,+o)； 因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的那些 点使级数收敛，那些点使级数发散？ 前页 返回

前页 后页 返回 1 , 2 0        x x x n 例如级数 n 当x  1时,收敛; 当x  1时,发散; 收敛域(1,1); 发散域(,1][1,); 因此级数敛散性的问题对于函数项级数或 幂级数而言，正确的提法是区间上的那些 点使级数收敛，那些点使级数发散？

定理14.1（Abel定理) 如果级数∑4nx”在x=x(x,≠0)处收敛，则 n=0 它在满足不等式x<x的一切x处绝对收敛； 如果级数∑anx"在x=七，处发散，则它在满足 n=0 不等式x>x,的一切处发散， 证明( 0∑anx收敛，lim0,x”=0, n-→oo n=0 前页 后页 返回

前页 后页 返回 定理 14.1 (Abel 定理) 如果级数n0 n a n x 在 ( 0 ) x  x 0 x 0  处收敛,则 它在满足不等式 x  x 0 的一切x处绝对收敛; 如果级数n0 n an x 在x  x0 处发散,则它在满足 不等式 x  x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0,  0   n n n (1) , a x 0  0 收敛 n n  an x