1999年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题(1)设函数f(x)=a*(a>0,a1),则/lim[f(I)f(2).. f(n)] =n1Ina【答】2Inf(i)lim-[f()f(2)... f(n)]= lim-【详解】，】on1+2+...+n..Lina.= In a-limn?2(2)已知f(x,y,=)=eyz2其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则 f(0,1,-1)【答】1【详解】因为z=z(x,y)是x,y的函数,于是有Ozf(x, y,z)=e'ye* +2e'yz.ax等式x+y+z+xyz=0两边对x求偏导,得OzOz=0,1++ yz+xyaxaxOz令x=0,y=1,z=-1,由上式得=0.于是有axOz=1(0,1,-1)=1-2ax01)(10 20(3)设A=而n≥2为整数则A"-2A"-101)1【答】O(10020210202040【详解】因为A=00[=2A100021故有 A"-2A"-1=A"-2(A?-2A)=O
1999 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1）设函数 f (x) = a (a > 0,a ≠ 1), x .则 [ (1) (2) ( )] _. 1 lim 2 = →∞ f f f n n l n " 【答】 1 ln 2 a 【详解】. 2 2 1 1 1 lim [ (1) (2) ( )] lim ln ( ) n n n i f f fn fi →∞ →∞ n n = " = ∑ 2 12 1 ln lim ln . n 2 n a a →∞ n ++ + = = " i （2）已知 ( , , ) , 2 f x y z e yz x = .其中 z = z(x, y) 是由 x + y + z + xyz = 0 确定的隐函数， 则 ' (0,1, 1) x f − = 【答】 1 【详解】 因为 z = z(x, y) 是 x, y 的函数,于是有 ' 2 (, ,) 2 , x x x z f x y z e yz e yz x ∂ = + ∂ i 等式 x + y + z + xyz = 0 两边对 x 求偏导,得 1 0, z z yz xy x x ∂ ∂ + ++ = ∂ ∂i 令 x yz = = =− 0, 1, 1,由上式得 0 z x ∂ = ∂ ,于是有 ' (0,1, 1) 1 2 1. x z f x ∂ − =− = ∂ i (3)设 101 020 101 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A ，而 n ≥ 2 为整数,则 1 2 n n− A − A = . 【答】 O 【详解】 因为 2 101 101 202 0 2 0 0 2 0 0 4 0 2. 101 101 202 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = == ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A i A 故有 1 22 2 ( 2) . nn n O − − A A AA A − = −=
10-2021（4）已知AB-B=A其中B=则A=210010121【答】012002【详解】由AB-B=A,有A=B(B-E)-,而[o-207O01-20000(B- E)- =-1210010 2]010I200-201 1121000故有-101220002Lo002(5)设随机变量X服从参数为入的泊松(Poisson)分布,且已知E[(X-1)(X-2)]=1则入=【答】1【详解】由题设X服从参数为的泊松(Poisson)分布,因此有E(X)=,D(X)=于是根据E[(X-1)(X-2)]=E(X2)-3E(X)+2=D(X)+[E(X)P-3E(X)+2=^+2?-3+2=1,解得入=1.二、选择题(1)设f(x)是连续奇函数，F(x)是f(x)的原函数,则(A）当f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数
（4）已知 ABB A − = , 其中 1 20 2 1 0, 002 ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B 则 A = 【答】 1 1 0 2 1 1 0 2 0 02 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】 由 AB-B=A,有 1 ( ), − A BB E = − 而 1 1 0 20 0 10 1 ( ) 2 0 0 1 0 0. 2 0 0 1 0 02 − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ − = =− ⎣ ⎦⎣ ⎦ B E 故有 1 1 0 2 1 20 0 10 1 1 2 1 0 100 1 0 2 2 0 0 1 0 02 0 02 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − =−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ A i （5） 设随机变量 X 服从参数为λ 的泊松(Poisson)分布,且已知 EX X [( 1)( 2)] 1, − −= 则λ = 【答】 1 【详解】 由题设 X 服从参数为λ 的泊松(Poisson)分布,因此有 EX DX () ,() . = = λ λ 于是根据 2 E X X EX EX [( 1)( 2)] ( ) 3 ( ) 2 − −= − + 2 2 = + − +=+ − += DX EX EX ( ) [ ( )] 3 ( ) 2 3 2 1, λλ λ 解得 λ =1. 二、选择题 （1） 设 f (x) 是连续奇函数, F(x)是 f (x) 的原函数,则 (A) 当 f (x) 是奇函数时， F(x)必为偶函数
(B）当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数(C）当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数【答】 (A)【详解】f(x)的原函数 F(x)可以表示为F(x)=f(t)dt+C,于是F(-x)= [f(0)dt +Cu=-f,f(-u)d(-u)+C当f(x)为奇函数,即f(-u)=-f(u),从而有F(-x)=J,f(t)dt +C=J, f(t)d +C= F(x),即F(x)为偶函数故(A)为正确选项,至于(B),(C),(D)可分别举反例如下Ix+1不是奇函数,可排除(B)；f(x)=x是偶函数,但其原函数F(x)=3f(x)=cosx是周期函数,但其原函数 F(x)=-x+--sin2x不是周期函数，可排除（C)2412x2在区间(-0,+0)f(x)=x在区间(-0,+o0)内是单调增函数,但其原函数F(x)=2内非单调增加函数,可排除(D)（2）设f(x,y)连续，且f(x,y)=xy+[[f(u,v)dudvy，其中D是由Dy=0,y=x2,x=1所围区域，则f(xy)等于(B) 2xy(A) xyt1(C) xy +xy+1(D)8【答】(C)【详解1】令[f(u,v)dudy=AD则 f(x,y)=xy+A,将 f(x,y)=xy+A代入(*)式得[ [uw+ A]dudy= A即[[[xy+A]dxdy=A
(B) 当 f (x) 是偶函数时， F(x)必为奇函数 (C) 当 f (x) 是周期函数时， F(x)必为周期函数 (D) 当 f (x) 是单调增函数时， F(x)必为单调增函数 【答】 (A) 【详解】 f ( ) x 的原函数 F x( )可以表示为 0 ( ) () , x F x f t dt C = + ∫ 于是 0 0 ( ) () ( ) ( ) . x x F x f t dt Cu t f u d u C − − = + =− − − + ∫ ∫ 当 f ( ) x 为奇函数,即 f ( ) ( ), − =− u fu 从而有 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ). x x F x f t dt C f t dt C F x − −= += += ∫ ∫ 即 F x( )为偶函数. 故(A)为正确选项,至于(B),(C),(D)可分别举反例如下: 2 f ( ) x x = 是偶函数,但其原函数 1 3 () 1 3 Fx x = + 不是奇函数,可排除(B); 2 f ( ) cos x x = 是周期函数,但其原函数 1 1 ( ) sin 2 2 4 Fx x x = + 不是周期函数,可排除(C); f ( ) x x = 在区间 (,) −∞ +∞ 内是单调增函数,但其原函数 1 2 ( ) 2 Fx x = 在区间 (,) −∞ +∞ 内非单调增加函数,可排除(D). （ 2 ） 设 f (x, y) 连续，且 ( , ) ( , ) , ∫∫ = + D f x y xy f u v dudv 其 中 D 是 由 0, , 1 2 y = y = x x = 所围区域，则 f (x, y) 等于 (A) xy （B）2xy (C) 8 1 xy + (D) xy +1 【答】 (C) 【详解 1】 令 (,) D f u v dudv A = ∫∫ 则 f (, ) x y xy A = + ,将 f (, ) x y xy A = + 代入(*)式得 [ ] D uv A dudv A + = ∫∫ 即 [ ] D xy A dxdy A + = ∫∫
xdx= Adxxydy11A=A,解得A=12381故f(x,y)=xy+d【详解2】等式f(xy)=xy+【f(u,v)dudv两边取在区域D上的二重积分得JJ f(x, y)dxdy= JJ xydxdy+ JJ xydxdy-J] f(u, v)dudvADDD1[ f(x, )dxdy = f'dxJ, xydxdy+ f'x dx.] f(x,y)dxdy0-+ ([[ f(x, y)dxdy=DJ (x, )ddy=!由上式解得8D(x,)=+则0（3）设向量β可由向量组α,αz，αm线形表示，但不能有向量组(I）α,αz…αm-1线性表示，记向量组（II）：ααz，αm-1,β，则：（A）αm不能由（I)线性表示，也不能由（I）线性表示（B）α㎡不能由（I)线性表示，但可由（II）线性表示(C)α㎡可由（I)线性表示，也可由（II）线性表示(D)αm可由（I)线性表示，但不能由（I）线性表示【答】 (B)【详解】由题设,存在k,k,，".k.,使得β=ka,+k,a,+...kmam且km±0.否则与β不能由向量组α,αz,αm-线性表示矛盾,从而有Kkm-L am-l1βα.a-kmkmkm
2 1 1 2 00 0 x dx xydy A x dx A + = ∫∫ ∫ 1 1 , 12 3 + = A A 解得 1 8 A = 故 1 (, ) 8 f x y xy = + 【详解 2】 等式 (, ) (,) D f x y xy f u v dudv = + ∫∫ 两边取在区域 D 上的二重积分得: (, ) (,) D D DD f x y dxdy xydxdy xydxdy f u v dudvA = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ i 2 1 1 2 00 0 (, ) (, ) x D D f x y dxdy dx xydxdy x dx f x y dxdy = + ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ i 1 1 (, ) (, ) 12 3 D D f x y dxdy f x y dxdy = + ∫∫ ∫∫ 由上式解得 1 (, ) 8 D f x y dxdy = ∫∫ 则 1 (, ) 8 f x y xy = + （3）设向量 β 可由向量组 1 2 , , α α α " m 线形表示，但不能有向量组(Ⅰ) 12 1 , , α α α " m− 线性表示，记向量组（Ⅱ）： 12 1 , , α α αβ " m− ，则： (A) α m 不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B）α m 不能由(Ⅰ)线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 (C) α m 可由(Ⅰ)线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 (D) α m 可由(Ⅰ)线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示 【答】 (B) 【详解】 由题设,存在 1 2 , , m kk k " 使得 11 2 2 , m m β =+ + kk k αα α " 且 0 mk ≠ .否则与 β 不能由向量组 12 1 , , α α α " m− 线性表示矛盾,从而有 1 1 1 1 1 , m m m m mm k k k kk − α =− − − + α αβ " −
即αm可由向量组α,α2,"αm-1β线性表示又根据β不能由向量组α,αzαm-线性表示知，αm一定不能由αj,αz，αm线性表示，否则将α用α，αz，αm-线性表示后代入(*)式，即可推出矛盾因此正确选项为(B)（4）设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则DX+Y)=DX+DY是X和Y（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的必要条件。但不是充分条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件【答】[C]【详解】 因为D(X+Y)=E[X+Y-E(X)-E(Y)}=E[X - E(X)} + E[Y - E(Y)} + 2E[X -E(X)][Y -E(Y)]= D(X)+ D(Y)+2rx /D(X)·D(Y),因此,由题设 D(X+Y)=D(X)+D(Y) rx=0可见正确选项为(C)（5）假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=minX,2)的分布函数（）(A）是连续函数(B）至少有两个间断点(C）是阶梯函数(D）恰好有一个间断点【答】 (D)【详解】.Y的分布函数为F(y)= P(Y≤y) = P(min(X,2)≤y) =1- P(min(X,2)>y)=1- P(X >y,2>y)考虑y<2和y≥2两种情况当y<2时，F(y)=1-P(X>y)= P(X ≤y)
即 α m 可由向量组 12 1 , , α α αβ " m− 线性表示. 又根据 β 不能由向量组 12 1 , , α α α " m− 线性表示知, α m 一定不能由 1 2 , , α α α " m 线性表 示,否则将α m 用 12 1 , , α α α " m− 线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾. 因此正确选项为(B) （4） 设随机变量 X 和Y 的方差存在且不等于 0，则 D(X + Y) = DX + DY 是 X 和Y （A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的必要条件。但不是充分条件 （C）不相关的充分必要条件 （D）独立的充分必要条件 【答】 [C] 【详解】 因为 2 DX Y EX Y E X EY ( ) [ ( ) ( )] + = +− − 2 2 = − +− + − − E X E X EY EY E X E X Y EY [ ( )] [ ( )] 2 [ ( )][ ( )] ( ) ( ) 2 ( ) ( ), = ++ D X DY r D X DY XY i 因此,由题设 ( ) ( ) ( ) 0, D X Y D X DY r + = + ⇔= XY 可见正确选项为(C). （5）假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量Y = min{X,2}的分布函数（） (A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 【答】 (D) 【详解】.Y 的分布函数为 F y PY y P X y P X y ( ) { } {min( ,2) } 1 {min( ,2) } = ≤ = ≤ =− > =− > > 1 { ,2 }. PX y y 考虑 y < 2和 y ≥ 2两种情况: 当 y < 2时, () 1 { } { } F y PX y PX y Y = − >= ≤