2002年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题n-2na+1,则 lim In[（1）设常数a2n(1-2a)1【答】1-2a1n-2na+-2【详解】因为lim[= lim[1 +n(1-2a)n(1-2a)所以 lim In["-2na+],"=Inel-2a1-2an(1-2a)（2）交换积分次序：【dy）f(x,y)dx+ Jedyf,(x,y)dx【答】[2 dxf"f (x, y)d)【详解】积分区域D=D+D2，其中[(x)10≤ys+ysxs/D=(sysxD, =3n于是D也可以表示为D=(x,)10,x一5故(x,)d+(x,)d=ed(x,)y4dyl[1 2-22三维向量α=（a,1,1)"已知Aα与α线性相关，21（3）设三阶矩阵A[3 0Aa=【答】-1【详解】由题设，存在k，使得Aα=kα，即
2002 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1）设常数 1 , 2 a ≠ 则 2 1 lim ln[ ] (1 2 ) n n n na →∞ n a − + − = . 【答】 1 1 2 − a 【详解】 因为 2 1 lim[ ] (1 2 ) n n n na →∞ n a − + − = 1 1 (1 2 ) 12 12 1 lim[1 ] (1 2 ) n a a a n e n a − − − →∞ + = − i 所以 1 1 2 21 1 lim ln[ ] ln (1 2 ) 1 2 n a n n na e na a − →∞ − + = = − − （2）交换积分次序： ( ) ( ) 1 11 4 22 1 0 4 , , y y y dy f x y dx dy f x y dx + = ∫∫ ∫∫ _. 【答】 ( ) 2 1 2 0 , x x dx f x y dy ∫ ∫ 【详解】 积分区域 1 2 DD D = + ,其中 1 ( ) 1 , |0 , , 4 D xy y y x y ⎧ ⎫ = ≤≤ ≤≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 2 ( ) 11 1 ,| , 42 2 D xy y y x ⎧ ⎫ = ≤≤ ≤≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 于是 D 也可以表示为 ( ) 1 2 , |0 , . 2 D xy x x y x ⎧ ⎫ = ≤≤ ≤≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 故 ( ) ( ) ( ) 2 1 11 1 4 22 2 1 0 0 4 , , ,. y x y yx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy + = ∫∫ ∫∫ ∫∫ （3）设三阶矩阵 12 2 21 2 30 4 ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A ,三维向量 ( ) ,1,1 . T α = a 已知 Αα 与α 线性相关， a＝_ 【答】 -1 【详解】 由题设，存在 k，使得 Αα= αk ，即
122a2121=k0431a+2-2=ka,即2a+1+2=k,可得a=-1,k=13a+4=k,故所求a为一1(4)设随机变量X和Y的联合概率分布为PY-101X00.070.180.1510.080.320.20则X和2的斜方差cos(x2,2)=【答】1-0.02【详解】由题设，有01xP0.40.6X-101P0.150.50.35且X?01
12 2 21 2 1 30 4 1 a k ⎡ ⎤ ⎡⎤ − ⎢ ⎥ ⎢⎥ = ⎣ ⎦ ⎣⎦ 即 22 , 2 12 , 34, a ka a k a k ⎧ +−= ⎪ ⎨ ++ = ⎪ ⎩ + = 可得 a k =− = 1, 1. 故所求 a 为－1. （4） 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 P Y X −1 0 1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 则 2 X 和 2 Y 的斜方差 ( ) 2 2 cos , X Y = _ 【答】 －0.02 【详解】 由题设，有 X 0 1 P 0.4 0.6 X −1 0 1 P 0.15 0.5 0.35 且 2 X 0 1
P0.40.62010.50.5PXy?01P0.720.28从而 E(x2y2)=0.28,E(x2)=0.69,E(y2)=0.5故cos(x2,y2)-E(x2,y2) E(x2)(y2)=0.28-0.3=-0.02.e-(r-0)若x≥0,而X,X2…X,是来自总体X（5）设总体X的概率密度为f（x;)：若x<0[0,的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为1 x,-1【答】n【详解】 因为 E(X)=[+* xe-(r-0) dx =$+1,所以，由E(X)=X=x,即0+1=SXnn得参数0的矩估计量为=x,-1n=l二、选择题(1）设函数f(x)在闭区间[a,bl上有定义,在开区间（a.b）上可导，则(A)当f(a)f(b)<0时,存在≤e(a,b),使f()=0(B)对任何(a,b),有lim[f(x)-f())=0
P 0.4 0.6 2 Y 0 1 P 0.5 0.5 2 2 X Y 0 1 P 0.72 0.28 从而 ( ) () ( ) 22 2 2 E XY E X EY = == 0.28, 0.69, 0.5, 故 ( ) ( )( )( ) 22 22 2 2 cos , , 0.28 0.3 0.02. X Y EX Y EX Y − = − =− （5）设总体 X 的概率密度为 ( ) ( ) , , ; 0, x e x f x x θ θ θ θ − − ⎧⎪ ≥ = ⎨ ⎪⎩ < 若 若 而 1 2 , , X X X " n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数θ 的矩估计量为_ 【答】 1 1 1 n i i X n = ∑ − 【详解】因为 ( ) ( ) 0 1, x E X xe dx θ θ +∞ − − = = + ∫ 所以，由 ( ) 1 1 , n i i EX X X n = = = ∑ 即 1 1 1 , n i i X n θ = + = ∑ 得参数θ 的矩估计量为 1 1 1. n i i X n θ = = − ∑ 二、选择题 （1）设函数 f ( ) x 在闭区间[,] a b 上有定义,在开区间(,) a b 上可导,则 (A) 当 fafb () () 0 < 时,存在ξ ∈( , ), ( ) 0. ab f 使 ξ = (B) 对任何ξ ∈(,) a b ,有lim[ ( ) ( )] 0. x fx f ξ ξ → − =
(C) 对 f(a)=f(b)时,存在三e(a,b),使 f()=0(D) 存在.≤e(a,b) ,使 f(b)-f(a)=f(E)(b-a)【答】[B]【详解】由题设，f(x)在(e(a,b)处可导，从而连续故有limLf(x)-f())=0.应选(B)V51.1"a.b,"的收敛半径分别为1（2）设幂级数a,"和则幂级数x"的收331b2n=ln=l敛半径为V5(D)(c))(B)(A)5.3【答】[A][an+l3batlim由题设，有lim【详解】V1-0b.ann→0[anan+l9batl15an1于是lim=limS9D73a,b,na?故幂级数x的收敛半径为，故应选[A]台b(3）设A是mxn矩阵，B是nxm，则线性方程组（AB）x=0（A）当n>m时仅有零解（B）当时n>m必有非零解（C）当时m>n仅有零解（D）当时m>n必有非零解【答】[D]【详解】AB为mxm矩阵，当m>n时，有r(AB)≤r(A)<≤n<m对应(AB)x=0有非零解，故应选[D]（4）设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征值元的特征向量，则矩阵(P-"AP)属于特征值入的特征向量是(D)(P-1) α(B)PTα(A) P-α(C) Pα【答】[B]由知Aα=α,于是Aα=α,(-)α=α,【详解】
(C) 对 f () () a fb = 时,存在ξ ∈(,) a b ,使 f '( ) 0 ξ = (D) 存在.ξ ∈(,) a b ,使 f ( ) ( ) '( )( ). b fa f b a − = − ξ 【答】 [ B] 【详解】 由题设, f ( ) x 在ξ ( (,) ξ ∈ a b 处可导,从而连续, 故有lim[ ( ) ( )] 0. x fx f ξ ξ → − = 应选(B). （2） 设幂级数 1 n n n n a x = ∑ 和 1 n n n n b x = ∑ 的收敛半径分别为 5 3 与 1 3 ，则幂级数 2 2 1 n n n n n a x = b ∑ 的收 敛半径为 () () ( ) ( ) 51 1 5. . . 33 5 AB C D 【答】 [ A] 【详解】 由题设，有 1 1 3 lim , lim 3, 5 n n n n n n a b a b + + →∞ →∞ = = 于是 2 2 1 1 1 2 1 9 5 1 lim lim , 9 5 n n n n n n n n n n a a b a b b a b + + + →∞ →∞ + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = == ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 故幂级数 2 2 1 n n n n n a x = b ∑ 的收敛半径为，故应选[ A]. （3） 设 A 是 m n × 矩阵， B 是 n m× ，则线性方程组( AB x) = 0 （A）当 n m> 时仅有零解. （B）当时n m> 必有非零解. （C）当时 m n > 仅有零解 （D）当时 m n > 必有非零解 【答】 [ D] 【详解】 AB 为 m m× 矩阵，当m n > 时，有 r r nm ( AB A ) ≤ ( ) ≤ < 对应( ) AB x = 0 有非零解，故应选[ D] .（4）设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵.已知 n 维列向量α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则矩阵( ) 1 T − P AP 属于特征值λ 的特征向量是 () () () ( )( ) 1 1 T T A B CD α αα α − − P PPP 【答】 [ B] 【详解】 由已知 A = α λα,于是 ( ) 1 , , T T TT T α λα αλα − PA P PAP P = =
又由于A=A,有(P-AP)pα=αPTα,可见矩阵(P-AP)属于特征值入的特征向量是Pα（5）设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（B）X?+Y都服从×分布（A）X+Y都服从正态分布X?（C）X和Y都服从分布(D)服从F分布Y2【答】[C]【详解】由于X、Y不一定相互独立,故（A)、（B）、(D)不一定成立，只有（C）为正确选项三、（本题满分8分）arctan(1+t)dt Jdu求极限limx→0x(1- cosx)【详解1】arctan(1+t)dtjduarctan(1+t)dtlimlimx→0x(1-cos x)r→01-cosx+xsinx12xarctan(1+x)= lim=2limarctan(1+x)lim→02sinxsosinx+sinx+xcosx+cos.xx=2.元,1元43-6【详解1】arctan(1+ t)dt ]duarctan(1+t)dt)duJlim2limx3x-→0x-→0x(1- cosx)arctan(1+t)dt2 arctan(1+ x)=2limJo=2lim3x2x-→0x→06x2元元34-6四、（本题满分8分）设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数,且z=z(x,y)由方程xe-ye=ze所确定，求du【详解1】设F(x,y,z)=xe-ye"-ze',则
又由于 T A = A,有( ) 1 , T T T α λ α − P AP P P = 可见矩阵( ) 1 T − P AP 属于特征值λ 的特征向 量是 T P α . （5） 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则 （A）X+Y 都服从正态分布 （B） 2 2 X +Y 都服从 2 χ 分布. （C） 2 X 和 2 Y 都服从 2 χ 分布. （D） 2 2 X Y 服从 F 分布. 【答】 [ C] 【详解】 由于 X、Y 不一定相互独立,故（A）、（B）、(D)不一定成立，只有（C）为正确 选项. 三 、（本题满分 8 分） 求极限 2 0 0 0 [ arctan(1 ) ] lim (1 cos ) x u x t dt du → x x + − ∫ ∫ 【详解 1】 2 00 0 0 0 [ arctan(1 ) ] arctan(1 ) lim lim (1 cos ) 1 cos sin xu x x x t dt du t dt → → x x xx x + + = − −+ ∫∫ ∫ 2 2 0 00 2 arctan(1 ) 1 lim 2lim arctan(1 )lim sin sin cos 2sin cos x xx x x x x xx x x x x → →→ + = =+ + + + 1 2 43 6 π π = = i i 【详解 1】 2 2 00 00 3 0 0 [ arctan(1 ) ] [ arctan(1 ) ] lim 2lim (1 cos ) xu xu x x t dt du t dt du → → xx x + + = − ∫∫ ∫∫ 2 2 0 2 0 0 arctan(1 ) 2arctan(1 ) 2lim 2lim 3 6 x x x t dt x → → x x + + = = ∫ 2 . 34 6 π π = = i 四 、（本题满分 8 分） 设函数u f xyz = (, ,) 有连续偏导数,且 z zxy = (, ) 由方程 xyz xe ye ze − = 所确定, 求 du 【详解 1】 设 (, ,) , x yz F x y z xe ye ze =−− 则