全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1997数学二

1997年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析、填空题(cosx，x0在x=0处连续，则α=(1) 已知f(x)=a,x=oe【答】【详解】由题设lim(x)=f(0),即IncosxLn=e1-0 2xa=lim(cosx=er-ox-e21-x则(2）设y=ln,V1+x3【答】2【详解】由题意得=ln(1-x)1+ x2y=O1y=1+x22(1-x)11-x2=2(1- x)2(1+x2)于是3yl2dx(3)/x(4x)Vxx-2【答】2arcsin+C或arcsin+C22【详解】方法一：dxdxx-2+C=arcsin2/x(4-x)/4-(x-2)方法二：

1997 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 一、填空题 （1）已知 ( ) ( ) 2 cos , 0 , 0 x x x f x a x − ⎧⎪ ≠ = ⎨ ⎪⎩ = 在 x = 0 处连续，则 a = . 【答】 1 2 e − . 【详解】 由题设 () () 0 lim 0 , x fx f → = 即 ( ) 2 2 0 0 ln cos tan 1 lim lim 2 2 0 lim cos x x x x x x x x a xe e e − → → − − → = = == （2）设 1 ln , 1 x y x − = + 则 '' 0 | x y = = . 【答】 3 2 − . 【详解】 由题意得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 2 '' 2 2 2 1 1 ln 1 ln 1 2 2 1 , 21 1 1 1 2 1 1 yx x x y x x x y x x = −− + =− − − + − =− − − + 于是 '' 0 | x y = = 3 2 − （3） ( ) 4 dx x x = − ∫ . 【答】 2arcsin 2 x +C 或 2 arcsin 2 x C − + 【详解】 方法一： ( ) ( )2 2 arcsin 4 2 4 2 dx dx x C x x x − = =+ − − − ∫ ∫ 方法二：

dVxdxdx=2x(4--(Nx). NxV4-(Vx)Vx+C= arcsin2(5）已知向量组α,=(1,2,-1,1),α,=(2,0,t,0),α,=(0,-4,5,-2)得秩为2，则t=【答】 3.【详解】方法一：121-10由于秩r(α,αz,α)=2,则矩阵20的任一个三阶子阵的行列式的值为零，t0-2-45即[12 -1]0=01-450解得1=3.方法二：22071-11-10200-4t+2-2t0-450-45-2-2秩r(α,α2,α)=2=t+2=5即t=3.二、选择题（1）设x→0时，etanx-e与x"是同阶无穷小，则n为(A) 1.(B) 2.(C) 3.(D) 4【【答】应选（C），【详解】方法一：由于x→0时，x2x3+o(x*):e"=1+x+3!2!则

( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 arcsin 2 dx dx d x x x x x x x C = = − −⋅ − = + ∫∫ ∫ （5）已知向量组α αα 1 23 = ( ) 1, 2, 1,1 , 2,0, ,0 , 0, 4,5, 2 − = =− − ( t ) ( ) 得秩为 2，则t = . 【答】 3. 【详解】 方法一： 由于秩 ( ) 123 r ααα , , 2, = 则矩阵 12 11 20 0 0 45 2 t ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ − − 的任一个三阶子阵的行列式的值为零， 即 12 1 2 0 0, 0 45 t − = − 解得t = 3. 方法二： 12 11 12 1 0 20 0 0 4 2 2 0 45 2 0 4 5 2 t t ⎡ ⎤⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥ → − +− ⎣ ⎦⎣ ⎦ −− − − 秩 ( ) 123 r t ααα , , 2 25 = ⇒+ = 即 t = 3. 二、选择题 （1）设 x → 0 时， tan x x e e − 与 n x 是同阶无穷小，则 n 为 （A）1. （B）2. （C）3. （D）4 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 方法一： 由于 x → 0 时， ( ) 2 3 4 1 2! 3! x x x e x ox =+ + + + ， 则

(tanx)(tan x)n(x4=1+tanx+02!3!(tan'x-x)+o()otanr(tan°x-x)+-e"=tanx-x+1x +o(r),又tanx=x+-3所以3从而etanx-e与x3为同阶非等价无穷小应取n=3,故选（C）.方法二：1oae"Ctanx-xlim= lim=lim3中x"-0x-→0x-→02 sec’ x·tan xsecx-1= limlimnx"-ir-0 n·(n-1)x-202tanxlimn(n-1) x-0 x"-2(2)设在区间[a,b]上f(x)>0, 于 (x)<0, 于"(x)>0，令S, =[ f(x)dxS, =f(b)(b-a),S, =,[F(a)+ f(b)(b-a), 则(A) S,<S,<S,(B)S, <S,<S(C)S, <S, <S,(D)S, <S,<S【答】应选（B），1f(aSSf (b)S0bxa【详解】

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 2 3 tan 4 tan 2 2 3 3 3 tan tan 1 tan 2! 3! 1 1 tan tan tan 2 3! x x x x x e x ox e e x x x x x x ox =+ + + + − = −+ − + − + 又 ( ) 1 3 3 tan , 3 x =+ + x x ox 所以 tan x x e e − ＝ ( ) 1 3 3 3 x + o x 从而 tan x x e e − 与 3 x 为同阶非等价无穷小. 应取 n = 3, 故选（C）. 方法二： ( ) ( ) ( ) tan tan 00 0 2 2 1 2 0 0 2 0 1 tan lim lim lim sec 1 2sec tan lim lim 1 2 tan lim 1 x x x x nnn xx x n n x x n x e e xx e e xxx x x x nx n n x x nn x →→ → → → − − → − − − − = = − ⋅ = = ⋅ − = − (2)设在区间[a b, ] 上 () () ( ) ' '' fx f x f x ><> 0, 0, 0 ，令 1 ( ) , b a S f x dx = ∫ 2 3 ( )( ) ( ) ()( ) 1 , 2 S fb b a S fa fb b a = −= + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ，则 （A） 1 2 3. SS S < < (B) 2 1 3. S SS < < (C) 3 1 2. SSS < < (D) 2 3 1. SSS < < 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】

由(x)>0,f(x)<0,f(α)>0知，曲线y=f(x)在[a,b]上单调减少且是凹曲线弧，于是有f(x)>f(b),(0)<1(a)+二((x-a),<x<bb-a从而S, = ["f (x)dx> f(b)(b-a)= S2,S=()(a)+)-((x-a).b-a=[(a)+ (b)](b-a) = Ss:即S,<S,<S,故应选（B）（3）已知函数=f()对一切×满足f(x)+3x[(x)=1-e，若F(x)=0(x±0)，则(A）f(x)是f(αx)的极大值；(B）f()是f(x)的极小值；(C）（,J())是曲线y=()的拐点；(D）(x)不是f(x)的极值，（x,f(x)也不是曲线y=f(x)的拐点【答】应选（B）【详解】由(x)=0(0)知，是(x)的驻点，将x=x代入微分方程x"()+3x['(x)] -1-e,I()=e*-得Xoer可见无论（+0）为何值，都有f（α）>0所以x=x是F(x)的极小值点(3)设 F(x)=I**en sintdt,则 F()

由 () () () ' '' fx f x f x ><> 0, 0, 0 知，曲线 y fx = ( ) 在[a b, ] 上单调减少且是凹曲线弧，于 是有 f () () x fb > , () () () () ( ), . fb fa f x fa x a a x b b a − < + − << − 从而 ( ) ( )( ) () () () () ( ) ( ) ()( ) 1 2 1 3 , 1 . 2 b a b b a a S f x dx f b b a S fb fa S f x dx f a x a dx b a fa fb b a S = > −= ⎡ ⎤ − = <+ − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ = + −= ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ 即 213 S SS < < ,故应选（B）. （ 3 ）已知函数 y fx = ( ) 对一切 x 满 足 () () 2 '' ' 3 1, x xf x xf x e− + =− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 若 () ( ) ' 0 0 fx x = ≠ 0 0 ，则 （A） ( ) 0 f x 是 f ( ) x 的极大值； （B） ( ) 0 f x 是 f ( ) x 的极小值； （C）( ) x0 0 , f x( ) 是曲线 y fx = ( ) 的拐点； （D） ( ) 0 f x 不是 f ( x) 的极值，( ) x0 0 , f x( ) 也不是曲线 y fx = ( ) 的拐点. 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 由 () ( ) ' 0 0 fx x = ≠ 0 0 知， 0 x 是 f ( x) 的驻点，将 0 x = x 代入微分方程 () () 2 '' ' 3 1, x xf x xf x e− + =− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 得 ( ) 0 0 '' 0 0 1 x x e f x x e − = 可见无论 x0 ( ) ≠ 0 为何值，都有 ( ) '' 0 f x > 0 所以 0 x = x 是 f ( x) 的极小值点. (3)设 ( ) 2 sin sin , x t x F x e tdt + π = ∫ 则 F ( x)

为正常数.(A)（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数【答】应选（A）【详解】由于esinsint是以2元为周期的，因此+*" esin' sin tdt =-esin'sintdiF(x)=[esin'dcost0+cos’ tesini dt >0故应选（A）：2-x,x≤0x2,x<0,则g[1()]为(5) 设g(x)=[x+2,x>0 (n)=-x,x≥02+x2,x<0[2-x2,x<0(B)(A)2-x,x≥02+x,x≥0[2+x2,x<02-x2,x<0(C)(D)[2-x,x≥02+x,x≥0【答】应选(D)【详解】根据g(x）得定义知，复合函数[2-f(x),(x)≤0g[(x)]-(x)+2,f(x)>0而x<0时，f(x)=x2>0;x≥0时,f(x)=-x≤0.故x2,x<0gf(x2+x,x≥0V4x2 +x-1+x+1三、求极限limVx? +sin x【详解】方法一：

（A） 为正常数. （B）为负常数. （C）恒为零. （D）不为常数. 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由于 sin sin t e t 是以 2π 为周期的，因此 ( ) 2 2 sin sin 0 2 sin 0 2 2 sin 0 sin sin cos 0 cos 0. x t t x t t F x e tdt e tdt ed t t e dt π π π π + = = = − =+ ⋅ > ∫ ∫ ∫ ∫ 故应选（A）. （5）设 () () 2 2, 0 , 0 , 2, 0 , 0 x x x x gx f x x x x x ⎧ − ≤ ⎧ < = = ⎨ ⎨ ⎩ + > ⎩− ≥ 则 gfx ⎡ ( )⎤ ⎣ ⎦ 为 （A） 2 2 ,0 2, 0 x x x x ⎧ + < ⎨ ⎩ − ≥ （B） 2 2 ,0 2, 0 x x x x ⎧ − < ⎨ ⎩ + ≥ （C） 2 2 ,0 2, 0 x x x x ⎧ − < ⎨ ⎩ − ≥ （D） 2 2 ,0 2, 0 x x x x ⎧ + < ⎨ ⎩ + ≥ 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 根据 g x( ) 得定义知，复合函数 ( ) ( ) ( ) () () 2, 0 2, 0 fx fx gfx fx fx ⎧⎪ − ≤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ⎨ ⎪ + > ⎩ 而 x < 0 时， ( ) 2 fx x = > 0; x ≥ 0 时， fx x ( ) =− ≤ 0. 故 ( ) 2 2 ,0 2, 0 x x gfx x x ⎧ + < ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ⎨ ⎩ + ≥ 三、求极限 2 2 4 11 lim sin x x x x x x →−∞ + −+ + + . 【详解】 方法一：