1999年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析、填空题x=e'sin2t曲线：在点(0,1)处的法线方程为(1)y=e'cos2t【答】y+2x-1=0【详解】根据参数方程的求导公式，有dy-e'cost-e'sintyxe'sin2t+2e'cos2t与x=0y=0对应t=0，dyi1故，从而在点(0,1)处的法线的斜率为-2，法线方程为dx Ix=02y-1=-2(x-0),即y+2x-1=0dy(2）设函数y=y(x)由方程ln(x+y)=xy+sinx确定，则dr【答】1.【详解】方程两边同时对x求导，视y为x的函数，得2x+y=3x*y+xy +cosxx?+y由原方程知，x=0时y=1，代入上式，得dy儿.=1x+5(3)dx-6x+13x-3=In(x2-6x+13)+4arctan【答】+C221 d(x2-6x+13)x+58dx =2.x2 6x +13x26x+13x2-6x+13【详解】x-3=ln(x2-6x+13)+4arctan+C22
1999 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 一、填空题 （1） 曲线 sin 2 cos 2 t t x e t ye t ⎧ = ⎨ ⎩ = 在点( ) 0,1 处的法线方程为 . 【答】 y x + −= 2 10 【详解】 根据参数方程的求导公式，有 cos sin , sin 2 2 cos 2 t t t t dy e t e t yx e t e t − = + 与 x y = = 0, 0 对应t = 0， 故 0 1 1 2 |x y dy dx = = = ，从而在点( ) 0,1 处的法线的斜率为-2，法线方程为 y x − =− − 1 2 0, ( ) 即 y x + −= 2 10 （2）设函数 y yx = ( )由方程 ( ) 2 3 ln sin x += + y xy x确定，则 0 | x dy dx = = . 【答】 1. 【详解】 方程两边同时对 x 求导，视 y 为 x 的函数，得 ' 2 3' 2 2 3 cos x y x y xy x x y + = ++ + 由原方程知， x = 0 时 y =1，代入上式，得 ' 0 0 1. | | x x dy y dx = = = = （3） 2 5 6 13 x dx x x + = − + ∫ . 【答】 ( ) 1 3 2 ln 6 13 4arctan . 2 2 x x x C − −+ + + 【详解】 ( ) ( ) 2 2 22 2 51 8 6 13 6 13 2 6 13 6 13 1 3 ln 6 13 4arctan . 2 2 x dx x dx xx xx xx x x x C + − + = + −+ −+ −+ − = −+ + + ∫ ∫∫
x2V3在区间上平均值为（4）函数y22Vi-x3V3+1,【答】元12x21V3上平均值为【详解】函数y在区间2'2Vi-x?V3x222Tsin"dxx=sint-costdtV3-1V3-1J=cost/1-x-(-)V3+112（5）微分方程y-4y=e2x得通解为【答】C.e【详解】特征方程为：22-4=0解得1 =2, =-2故-4y=0的通解为y=C,e-2x +C,e2x由于非齐次项为f(x)=e2，=2为特征方程的单根因此原方程的特解可设为y=Axe2，代入原方程，得1A=14故所求通解为02x-2x +Cexe?y=yi+y'=Ce~1C,e-二、选择题
（4）函数 2 2 1 x y x = − 在区间 1 3 , 2 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 上平均值为 . 【答】 3 1 . 12 π + 【详解】 函数 2 2 1 x y x = − 在区间 1 3 , 2 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 上平均值为 3 2 2 2 3 1 2 2 6 3 6 2 2 sin sin cos 31 31 1 cos 2 11 sin 2 3 1 2 4 3 1 . 12 | x t dxx t tdt x t t t π π π π π = ⋅ − − − ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ + = ∫ ∫ （5）微分方程 '' ' 2 4 x y ye − = 得通解为 . 【答】 2 2 1 2 1 4 x x Ce C x e − ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 【详解】 特征方程为： 2 λ − = 4 0 解得 1 2 λ = =− 2, 2 λ 故 '' ' y y − = 4 0的通解为 2 2 1 2 x x y Ce Ce − = + 由于非齐次项为 ( ) 2x f x e = ，λ = 2 为特征方程的单根， 因此原方程的特解可设为 * 2x y Axe = ，代入原方程，得 1 4 A = 故所求通解为 *22 2 1 12 2 2 1 2 1 4 1 4 xx x x x y y y C e C e xe Ce C x e − − =+ = + + ⎛ ⎞ = ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 二、选择题
1-cosx,x>0Vx(1) 设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处x"g(x),x≤0（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导(D）可导【答】应选（D）【详解】因为f(x)-f(0)1-cosxf (0+0)= limlim0.micyx1→00xg(x)(x)-f(0)f (0-0)= lim lim g(x)x = 0limxx→0~X→0xx→0"可见，f(x)在x=0处左、右导数相等，因此，f(x)在x=0处可导，故正确选项为(D)(2) 设α(t)=Jsinldl,β(t)=J(1+1)jd,则当x-→0时, α(t)是β(t)的（A）高阶无穷小；（B）低阶无穷小：（C）同阶但不等价的无穷小；（D）等价无穷小【【答】应选（C）因为【详解】sin5xrs*x sin dtα(x)505xlim-lim5lim￥1x-0 β(x)S(1+sinx)sinx.cos.x(1+t)'dt故α(x)是β(x)的同阶但不等价的无穷小因此正确选项为（C）（3）设f(x)是连续函数，F(x)是其原函数，则（A）当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数(B）当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数
（1）设 ( ) ( ) 2 1 cos , 0 , 0 x x f x x xg x x ⎧ − ⎪ > = ⎨ ⎪ ≤ ⎩ 其中 g x( ) 是有界函数，则 f ( x) 在 x = 0 处 （A）极限不存在. （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 因为 ( ) () () ' 3 0 0 2 0 1 cos 0 0 lim lim 0, x x fx f x f x x → → + − − − += = = ( ) () () ( ) ( ) 2 ' 0 00 0 0 0 lim lim lim 0, x xx f x f xg x f gxx x x → →→ − −− − −= = = 可见， f ( ) x 在 x = 0 处左、右导数相等，因此， f ( x) 在 x = 0 处可导， 故正确选项为(D). （2）设 ( ) () ( ) 1 5 sin 0 0 sin , 1, x x t t x dt x t dt t α β = =+ ∫ ∫ 则当 x → 0 时，α ( x) 是 β ( ) x 的 （A）高阶无穷小； （B）低阶无穷小； （C）同阶但不等价的无穷小； （D）等价无穷小. 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 0 1 1 00 0 sin sin 0 sin sin 5 5 5 lim lim 5lim 1 1 sin cos 1 x xx x x t x t x dt x t x x e x x t dt α →→ → β = = =≠ + ⋅ + ∫ ∫ 故α ( ) x 是 β ( ) x 的同阶但不等价的无穷小. 因此正确选项为（C）. （3）设 f ( ) x 是连续函数， F x( ) 是其原函数，则 （A） 当 f ( ) x 是奇函数时， F x( ) 必是偶函数. （B） 当 f ( ) x 是偶函数时， F x( ) 必是奇函数
(C）当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数(D）当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数[【答】应选（A）【详解】(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=f(t)dt+C,于是F(-x)= J" f(0)dt +Cu=--f° F(-u)d(-u)+C.当f(x)为奇函数时，f(-u)=-f(u)，从而有F(-x)=J。 (u)du+C=J° (0)dt+C=F(g)即F(x)为偶函数故（A）为正确选项.至于（B）、（C)、（D）可分别举反例如下：(t)=是偶函数，但其原函数F(t)=t+1不是奇函数，可排除（B)311(x)=cos2x是周期函数，但其原函数F(x)=sin2x不是周期函数，可排除（C)；-2+4°f(t)=x在区间(- +)内是单调增函数，但其原函数F(x)=x2在区间(-80+)内非n单调增函数，可排除（D）(4)"对任意给定的e(0,1)，总存在正整数N,当n≥N时，恒有x-α≤2s”是数列()收敛于α的（A）充分条件但非必要条件：（B）必要条件但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分条件又非必要条件；[【答】应选（C)【详解】由数列(x收敛于α=“对任意给定的6,(O,1)，总存在正整数N,当n≥N,时恒有-α≤s,”，显然可推导处：“对任意给定的ε(0,1)，总存在正整数N,当n≥N时，恒有x-≤2"反过来，若有“对任意给定的εE(0,1)，总存在正整数N,当n≥N时，恒有x，-α<2
（C） 当 f ( ) x 是周期函数时， F ( x) 必是周期函数. （D） 当 f ( ) x 是单调增函数时， F ( x) 必是单调增函数. 【 】 【答】 应选（A） 【详解】 f ( ) x 的原函数 F ( ) x 可以表示为 ( ) () 0 , x F x f t dt C = + ∫ 于是 ( ) () ( )( ) 0 0 . x x F x f t dt Cu t f u d u C − − = + =− − − + ∫ ∫ 当 f ( ) x 为奇函数时， f ( ) − =− u fu( ) ，从而有 ( ) () () ( ) 0 0 x x F x f u du C f t dt C F x −= + = += ∫ ∫ 即 F x( ) 为偶函数. 故（A）为正确选项.至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下： ( ) 2 f x x = 是偶函数，但其原函数 ( ) 1 3 1 3 Fx x = + 不是奇函数，可排除（B）； ( ) 2 f x x = cos 是周期函数，但其原函数 ( ) 1 1 sin 2 2 4 Fx x x = + 不是周期函数，可排除（C）； f ( ) x x = 在区间( ) −∞ + ∞ 内是单调增函数，但其原函数 ( ) 1 2 2 Fx x = 在区间( ) −∞ + ∞ 内非 单调增函数，可排除（D）. （4）“对任意给定的ε ∈( ) 0,1 ，总存在正整数 N,当 n N≥ 时，恒有 2 n x −α ≤ ε ”是数列{xn} 收敛于α 的 （A）充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分条件又非必要条件； 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 由数列{xn} 收敛于α ⇒“对任意给定的ε 1 ∈(0,1)，总存在正整数 N1当 1 n N≥ 时， 恒有 n 1 x − ≤ α ε ”，显然可推导处：“对任意给定的ε ∈(0,1) ，总存在正整数 N,当 n N≥ 时， 恒有 2 n x − ≤ α ε ” 反过来，若有“对任意给定的ε ∈( ) 0,1 ，总存在正整数 N,当 n N≥ 时，恒有 2 n x − ≤ α ε
则对任意的>0（不访设0<8<1，当时，取一8,0<<1<6，代替即可），取1S>0，存在正整数N,当n≥N时，恒有，令N,=N-1，则满足“对任意给定的6=3,(0,1)，总存在正整数N当n≥N时，恒有x-α≤s可见上述两种说法是等价的，因此正确选项为（C）x-2x-1x-2x-32x-222x-12x-22x-3（5）记行列式为f(x），则方程f(x）=0的根的个数为3x-3 3x-24x-53x-54x4x-35x-74x-3(A) 1.(B) 2(C) 3.(D) 4【】【答】应选（B）【详解】因为x-210100x-202x-2102x-210f(x)=3x-31x-23x-31x-24x-34x-3x-7x-7-6x-2102x-2104x-3x-7-x(x-7)V1+tanx-Vi+sin x三、求limxln(1+x)- x2【详解】1tanx-sinx原式=limx0 x[1n(1+ x)- x/1+tanx+V1+sinx11-cosxsinx-lim210In(1+ x)- xxcosxlim2 x0 In(1+ x)- x2x1/-lim214~01+ x
则对任意的 1 ε > 0 （不访设 1 0 1 < < ε ，当时，取一 i i 11 1 ε ,0 1 , < ε ε < < 代替即可），取 1 1 0 3 ε ε = > ，存在正整数 N, 当 n N≥ 时，恒有，令 1 N N= −1 ，则满足“对任意给定的 ε 1 ∈( ) 0,1 ，总存在正整数 N1当 1 n N≥ 时，恒有 n 1 x −α ≤ ε 可见上述两种说法是等价的，因此正确选项为（C） （5）记行列式 2123 2 22 12 22 3 3 33 24 53 5 4 4 35 74 3 x xx x x xx x xxxx xx x x − −− − − −− − −−−− −− − 为 f ( x) ，则方程 f x( ) = 0 的根的个数为 （A）1． （B）2 （C）3. （D）4 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 因为 ( ) 21 0 1 21 0 0 2 21 0 12 21 0 0 3 31 2 2 3 31 2 1 4 3 73 4 3 76 x x x x f x xx xx xx xx − −− − −− = = − −− − −− − −− − −− ＝ ( ) 21 0 2 21 0 4 37 7 x x x x x x − − − − =− − 三、求 ( ) 2 0 1 tan 1 sin lim . x ln 1 x x → x xx + −+ + − 【详解】 原式＝ ( ) 0 tan sin 1 lim ln 1 1 tan 1 sin x x x x xx x x → − ⋅ ⎡ ⎤ + − + ++ ⎣ ⎦ ( ) ( ) 0 2 0 0 1 sin 1 1 cos lim 2 cos ln 1 1 1 2 lim 2 ln 1 12 1 lim 4 2 1 1 1 x x x x x x x xx x x x x x → → → − = ⋅⋅ + − = + − = =− − +