2001年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题（1）设生产函数为O=AL"Kβ，其中O是产出量,L是劳动投入量，K是资本投入量，而A,α,β均为大于零的参数,则当O=1时K关于L的弹性为一α【答】β【详解】当Q=1时，有K=ALB于是K关于L的弹性为a-αAPLBT5=LK(L)βα-L.βK(L)9ABLB（2）某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万.若以W表示第t年的工资总额（单位：百万元），则W满足的差分方程是【答】1.2.W-, + 2【详解】W,=(1+0.2)W-+2=1.2.W-+2[k 11171k11（3）设矩阵A=且秩(A)=3,则k=11k1[111k]【答】-3【详解】由题设r(A)=3,知必有[k111k1=(k+3)(k-1)3= 0,1k11k解得k=1或k=-3.显然k=1时r(A)=1不符合题意,因此一定有k=-3
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1）设生产函数为Q AL K , α β = 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而 A, , α β 均为大于零的参数,则当Q =1时 K 关于 L 的弹性为 . 【答】 α β − 【详解】 当Q =1时,有 , l K AL α β β − − = 于是 K 关于 L 的弹性为 1 1 1 '( ) . ( ) A L K L L L K L A L α β β α β β α β α ξ β − −− − − − = = =− i （2）某公司每年的工资总额比上一年增加 20％的基础上再追加 2 百万.若以Wt 表示第t 年的工资总额（单位：百万元），则Wt 满足的差分方程是_ 【答】 1 1.2. 2 Wt− + 【详解】 W 1 0.2 2 1.2. 2 t 11 = + += + ( )W W t t − − （3）设矩阵 111 1 11 , 11 1 111 k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 且秩( ) 3, A = 则 k = . 【答】 -3 【详解】 由题设 r( ) 3, A = 知必有 3 111 1 11 ( 3)( 1) 0, 11 1 111 k k k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =+ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 解得 k =1或 k = −3.显然 k =1时 r A( ) 1, = 不符合题意,因此一定有k = −3
（4）设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式P(X-Y≥6≤1【答】12【详解】另Z=X-Y,则E(Z)= E(X)- E(Y)= 0,D(Z)= D(X -Y)= D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=1+4-2.0.5./D(X)D(Y)=3.于是有P([X-)≥6)=P[Z-E(2)≥6)≤D)=6212(5)设总体X服从正态分布N(0,0.2"),而X,X,,Xis,是来自总体X的简单随机样本，X?+..+Xo一服从分布，参数为则随机变量Y2(X+..+ X)1【答】12【详解】 因为 X, ~ (0.2) =1,2. ,15. 于是 ~ N(0.1),从而有2+() (0) (学)() (6)( ( (10) 而且由样本的独立性可知，(）+(）(6)相互独立故X?+...+X?Y-F(10,5)2(X+..+X)X..(1112A故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F分布二、选择题
（4）设随机变量 X,Y 的数学期望都是 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为 0.5.则根据切比 雪夫不等式 PX Y { −≥ ≤ 6} . 【答】 1 12 【详解】 另 Z = X Y− , 则 EZ E X EY ( ) ( ) ( ) 0, = −= D Z D X Y D X D Y Cov X Y () ( ) ( ) () 2 ( ,) = −= + − =+ − = 1 4 2 0.5 ( ) ( ) 3, i i D X DY 于是有 { } { } 2 () 1 6 () 6 . 6 12 D Z P X Y P Z EZ −≥ = − ≥ ≤ = （5）设总体X服从正态分布 ( ) 2 N 0,0.2 ,而 1 2 15 X , , X X " 是来自总体X的简单随机样本， 则随机变量 ( ) 2 2 1 10 2 2 11 15 2 X X Y X X + + = + + " " 服从_分布，参数为_。 【答】 1 12 【详解】 因为 ( ) 2 ~ 0,2 1,2, ,15. XN i i = " 于是 ~ 0,1 , ( ) 2 Xi N 从而有 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 11 10 15 2 2 ~ 10 , ~ 5 , 22 2 2 X X X X χ χ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ++ ++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ " " 而且由样本的独立性可知， ( ) 2 2 1 10 2 ~ 10 2 2 X X χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 与 ( ) 2 2 11 15 2 ~ 5 2 2 X X χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 相互独立. 故 ( ) ( ) 2 2 1 10 2 2 1 10 2 2 2 2 11 15 11 15 /10 2 2 ~ 10,5 . 2 /10 2 2 X X X X Y F X X X X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = + + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ " " " " 故 Y 服从第一个自由度为 10，第二个自由度为 5 的 F 分布. 二、选择题
f'(x)=-1.则（1）设函数f(x)的导数在x=a处连续,又limax-a(A）x=a是f(x)的极小值点(B）x=a是f(x)的极大值点(C）(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点(D）x=a不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点[】【答】[B]由lim(x)2=-1,知limF(x)=0,即f(a)=0,于是有【详解】ax-a(x)-(@) - lim ()f"(a)= lim 2元-1x-ax-ax-a即f(a)=0,f"(a)=-1,故x=a是f(x)的极大值点因此,正确选项为(B),1-(x2 +1),0≤x≤13(2）设函数g(x)=[f(u)du,其中f(x)=，则g(x)在区间-(x-1),1≤x≤23(0,2)内(A)无界(B）递减(C）不连续(D) 连续1【答] [D]【详解】当0≤x<1时有x1-(x2 + 1)dx =g(x) :x+-x026当1≤x≤2时，有2(x +1)dx+-1)dx = (x-1)2g(x) =(x36[11x+0≤x<116即g(x)=21-(x-1)2, 1≤x≤236显然g(x)在区间(0,2)内连续，所以,应选(D)
（1）设函数 f ( ) x 的导数在 x = a 处连续,又 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 则 (A) x = a 是 f ( ) x 的极小值点. (B) x = a 是 f ( ) x 的极大值点. (C) ( , ( )) afa 是曲线 y fx = ( ) 的拐点. (D) x = a 不是 f ( ) x 的极值点, ( , ( )) afa 也不是曲线 y fx = ( ) 的拐点. 【 】 【答】 [ B] 【详解】 由 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 知lim '( ) 0, x a f x → = 即 f a'( ) 0 = ,于是有 '( ) '( ) '( ) "( ) lim lim 1, xa xa fx fa fx f a → → xa xa − = = =− − − 即 f a'( ) 0 = , f a "( ) 1 = − ,故 x = a 是 f ( ) x 的极大值点, 因此,正确选项为(B). （2）设函数 0 () () , x g x f u du = ∫ 其中 1 2 ( 1),0 1 2 () , 1 ( 1),1 2 3 x x f x x x ⎧ + ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ − ≤≤ ⎪⎩ 则 g x( ) 在区间 (0,2) 内 (A)无界 （B）递减 (C) 不连续 (D) 连续 【 】 【答】 [D] 【详解】 当0 1 ≤ x < 时,有 2 3 0 1 11 ( ) ( 1) , 2 62 x g x x dx x x = +=+ ∫ 当1 2 ≤ x ≤ 时,有 1 2 2 0 1 1 1 21 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) , 2 3 36 x g x x dx x dx x = + + − =+ − ∫ ∫ 即 3 2 1 1 ,0 1 6 2 ( ) 2 1 ( 1) , 1 2 3 6 x x x g x x x ⎧ + ≤< ⎪⎪ = ⎨ ⎪ + − ≤≤ ⎪⎩ 显然 g x( ) 在区间(0, 2) 内连续, 所以,应选(D)
[ait[ai4000ai2ai3ai4ai3a12an000a21a22a23a24a24a23a22a21B(3) 设A=0as4a3301as1a32a33as4a32as1000La41Lar4a42a42ax3a44a43a4t00100001P, =其中A可逆,则B-等于01000001(A)A'PP(B) PA'P)(C)PP,A-IP,A-'P.(D)【答】 [C]【详解】因为P是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而P,是交换第二、三列所得的初等矩阵，于是有B=AP,P从而B- =(AP,P)"= P-'P-"A- = PP,A-故正确选项为（C）42秩（A），则线性方程组（4）设A是n阶矩阵，α是n维列向量若秩0o(A)AX=α必有无穷多解(B)AX=α必有惟一解DY0仅有零解0必有非零解[【答】[D] αA42秩（A）≤n<n+1,即系数矩阵非列满秩，【详解】由题设，显然有秩00因此齐次线性方程组0必有非零解D故正确选项为（D)。（5）将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于1-10(C)(D)1(A) (B)12【答】 [A]【详解】设X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y=n-X,因此X和Y的相
（3）设 11 12 13 14 14 13 12 11 21 22 23 24 24 23 22 21 1 31 32 33 34 34 33 32 31 41 42 43 44 44 43 42 41 0001 0100 , , 0010 1000 aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ABP 2 1000 0010 , 0100 0001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P 其中 A 可逆,则 −1 B 等于 (A) 1 1 2 − A P P （B） 1 1 2 − PA P (C) 1 1 2 − PP A (D) 1 2 1. − PA P 【 】 【答】 [C ] 【详解】 因为 P1是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而 P2 是交换第二、三列 所得的初等矩阵，于是有 B AP P = 2 1 从而 ( ) 1 1 1 11 1 21 1 2 12 − − −− − − B AP P P P A P P A == = 故正确选项为（C）. （4）设 A 是n 阶矩阵，α 是 n 维列向量.若秩 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Τ 秩（ ） Α α Α α ，则线性方程组 ( ) A AX =α 必有无穷多解 (B) AX =α 必有惟一解. ( ) 0 0 C y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 仅有零解 ( ) 0 0 D y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 必有非零解. 【 】 【答】 [D] 【详解】由题设，显然有秩 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Τ 秩（ ） Α α Α α ≤ n n < +1,即系数矩阵 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Τ Α α α 非列满秩， 因此齐次线性方程组 0 0 y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 必有非零解. 故正确选项为（D）。 （5）将一枚硬币重复掷 n 次,以 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和Y 的相关系数等于 (A) -1 (B) 0 (C) 1 2 (D) 1 【答】 [A ] 【详解】设 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y nX = − ,因此 X和Y 的相
关系数为r=-1三、（本题满分8分）设u=f(x,y,=)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式di,求dux-=sint确定：e-xy=2和e=Jodxt【详解】根据复合函数求导公式，有duafafdyafdz(*)dx ox oy dx oz dxe-xy=2由两边对x求导，得dydye"(y+x)=0-(y+xdxdxdy即dx+--sint由erdt,两边对x求导，得e*= sin(x-2)(1-4)dxX-z=1-(x-)即dxsin(x-z)将其代入(*)式,得duafyafe'(x-z) f+(1-dxaxx oysin(x-=)z四、（本题满分8分）已知f(x)在(-00,+o0)内可导,且lim /(x)=e,lim(+y =lim[(x)- f(x-1)],→X-C求c的值=liml1+202ax+c]r-c = e2c,lim(【详解】因为x-cx-CX-又由拉格朗日中值定理,有f(x)-f(x-1)= f'()-1,于是介于x-1与x之间，于是lim[f(x)- f(x-1)]= lim f'()=e
关系数为 r = −1. 三 、（本题满分 8 分） 设 u f xyz = (, ,) 有连续的一阶偏导数,又函数 y yx = ( ) 及 z zx = ( ) 分别由下列两式 确定: 2 xy e xy − = 和 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 求 du dx 【详解】 根据复合函数求导公式,有 . du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ =+ + ∂∂ ∂ i i (*) 由 2 xy e xy − = 两边对 x 求导,得 ( ) ( ) 0, xy dy dy e yx yx dx dx + −+ = 即 . dy y dx x = − 由 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 两边对 x 求导,得 sin( ) (1 ), x x z dz e x z dx − = − − i 即 ( ) 1 . sin( ) x dz e x z dx x z − = − − 将其代入(*)式,得 ( ) (1 ) . sin( ) x du f y f e x z f dx x x y x z z ∂ ∂ −∂ = − +− ∂ ∂ −∂ 四 、（本题满分 8 分） 已知 f ( ) x 在(,) −∞ +∞ 内可导,且 lim '( ) ,lim( ) lim[ ( ) ( 1)], x xxx x c f x e fx fx →∞ →∞ →∞ x c + = = −− − 求c 的值. 【详解】 因为 2 2 2 2 . lim( ) lim[(1 )] x c cx c x c x c x x xc c e xc xc − − →∞ →∞ + =+ = − − 又由拉格朗日中值定理,有 fx fx f ( ) ( 1) '( ) 1, − −= ξ i 于是ξ 介于 x −1与 x 之间,于是 lim[ ( ) ( 1)] lim '( ) x x f x fx f e ξ →∞ →∞ − −= =