2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析填空题arctanx-x(1) limx-0 1n(1+2x31【答】6arctanx-x=limI+x?arctanx-xlim【详解】1lim2x36x30 1n(1+ 2x3)r0-x2= lim10 6x2 (1+ x2)16（2）设函数y=(x)由方程2=×+y所确定，则d=。【答】(ln2-1)dx【详解】方法一：根据微分形式不变性，在已知等式两边同时求微分，得2 (ydx + xdy) n 2 = dx + dy由原方程知，当x=0时，y=1，将其代入上式，得In 2dx-dx= dy,即有dlx0 =(ln2 -1)dx,方法二：在方程2=x+y两边对x求导，得dy=1+42ln2.y+xdxdx)将x=0代入原方程得y=1，将x=0，=1代入上式有：In2(1+0)=1+dx
2000 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 一、 填空题 （1） ( ) 3 0 arctan lim ln 1 2 x x x → x − = + . 【答】 1 6 − . 【详解】 ( ) 2 3 3 2 000 1 1 arctan arctan 1 lim lim lim xxx ln 1 2 2 6 xx xx x →→→ x x x − − − + = = + ( ) 2 2 2 0 lim 6 1 1 6 x x → x x − = + = − （2）设函数 y yx = ( )由方程 2xy = +x y 所确定，则 0 | x dy = = . 【答】 ( ) ln 2 1− dx 【详解】 方法一： 根据微分形式不变性，在已知等式两边同时求微分，得 2 ln 2 ( ) xy ydx xdy dx dy + = + 由原方程知，当 x = 0 时， y =1，将其代入上式，得 ln 2 , dx dx dy − = 即有 ( ) 0 ln 2 1 , | x dy dx = = − 方法二： 在方程 2xy = +x y 两边对 x 求导，得 2 ln 2 1 xy dy dy y x dx dx ⎛ ⎞ ⋅ + =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 将 x = 0 代入原方程得 y =1，将 x = 0 ， y =1代入上式有： ln 2 1 0 1 ( ) dy dx + =+
d=ln2-1即有dx所以dl =(ln 2 -1) dx,dx(3)(x+7)/x-2元【答】3【详解】令Vx-2=t则x=t2+2dx=2tdt.于是2tdtdx52di(249),= m24,J (x+7)/x-2=J。= lim_arctan=3（4）曲线y=（2x-1)e*的斜渐近线方程为）【答】y=2x+1因为【详解】α= lim 二= lim|00Xr-0Xb= lim(y-2x) = lim|2x[ex= lim11-x→故渐近线方程为y=2x+1000130-20,E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)"(E-A),则(B+E)(5）设A=50-40100-67
即有 ln 2 1 dy dx = − 所以 ( ) 0 ln 2 1 , | x dy dx = = − （3） ( ) 2 7 2 dx x x +∞ = + − ∫ . 【答】 3 π 【详解】 令 x − = 2 ,t 则 2 x =+ = t dx tdt 2, 2 , 于是 ( ) ( ) 2 2 2 00 0 2 2 lim 7 2 9 9 2 lim arctan 3 3 3 | b b b b dx tdt dt x x t t t t π +∞ +∞ →+∞ →+∞ = = + − + + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∫ ∫∫ （4）曲线 ( ) 1 2 1 x y xe = − 的斜渐近线方程为 . 【答】 y x = + 2 1 【详解】 因为 ( ) 1 1 1 1 1 1 lim lim 2 2 lim 2 lim 2 1 2 1 lim 1 1 x x x x x x x x x x y a e x x b y x xe e e e x →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ == −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ = − = −− ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ = −= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 故渐近线方程为 y x = + 2 1 （5）设 1 0 00 23 00 , 0 450 0 0 67 A E ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − 为 4 阶单位矩阵，且 ( )( ) 1 B EA EA − = + − ,则( ) 1 B E − + ＝
00010-120【答】00-2300-3 4【详解】由B=(E+A)-(E-A)，有(E+A)B=E-A即AB+A+B+E=2E,(E+ A)(E+B)=2E,(E+ A)(E+B)= E,也即故0001200B+H0-23000-34二、选择题xa+在(-,+o)内连续，且m(s)=0,则常数a,b满足(1）设函数f(x)=(A) a<0,b<0(B)a>0,b>0(C) a≤0,b>0(D) a≥0,b<0[】【答】应选（D)【详解】由题设，f（x)在(-00,+oo）内连续，因此对任意的xE(-0,+oo），有，，这只需a≥0即可另外，由limf(x)=0知，lim(a+e)=00所以必有b<0故正确答案为（D）(2)设函数(x)满足关系式厂(x)+[(μ)}=x,且F(0)=0，则(A）f(O)是f(x)的极大值(B）f(O)是f(x)的极小值
【答】 1 0 00 12 00 0 230 0 0 34 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − 【详解】 由 ( )( ) 1 B EA EA − =+ − ，有 ( ) E + =− AB E A 即 ( )( ) 2 , 2 , AB A B E E E AEB E +++= + += 也即 ( )( ) 1 , 2 EAEB E + += 故 ( ) ( ) 1 1 0 00 1 12 00 2 0 230 0 0 34 BE EA − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − + = += ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − 二、选择题 （1）设函数 ( ) bx x f x a e = + 在( ) −∞ +∞ , 内连续，且 lim 0 ( ) x f x →−∞ = ，则常数 a b, 满足 （A） a b < < 0, 0 （B） a b > > 0, 0 （C） a b ≤ > 0, 0 （D） a b ≥ < 0, 0 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 由题设，f ( x) 在( ) −∞ +∞ , 内连续，因此对任意的 x∈(−∞ +∞ , ) ，有，这只需 a ≥ 0 即可. 另外，由 lim 0 ( ) x f x →−∞ = 知， lim ( ) bx x a e →−∞ + = ∞ 所以必有b < 0 故正确答案为（D） （2）设函数 f ( ) x 满足关系式 () () 2 '' ' f x fx x + ⎡ ⎤ = , ⎣ ⎦ 且 ( ) ' f 0 0 = ，则 （A） f ( ) 0 是 f ( ) x 的极大值 （B） f ( ) 0 是 f ( ) x 的极小值
(C）点(0,f(O))是曲线y=f(x)的拐点(D）f(O)不是f(x)的极值，点(o,f()不是曲线y=f(x)的拐点[】【答】应选（C)【详解】因为f(0)=0，由原关系式F (x)+[F ()}'=x,知(0)=0,因此点(0,f(0))可能为拐点由了()=-[(x)}=x,知F(x)的三阶导数存在，且f" (x)=-2f(x) f (x)+1可见(0)=1因此在x=0的左侧，(x)<0，对应曲线是下凹（上凸）的；而在x=0的右侧，f(x)>0，对应曲线是上凹（上凸）的.故点(o,f(o))是曲线y=f(x)的拐点(3）设函数(x),g(x)是大于零的可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g(x)<0,则当a<x<b时,有(B) f(x)g(a)>f(a)g(x)(A) f(x)g(b)> f(b)g(x)(C) f(x)g(x)> f(b)g(b)(c) f(x)g(x)> f(a)g(a)【答】应选（A）【详解】由题设知[(x)][ (g)g(0)- (a) g(二) <0[g(x)g°(x)因此当a<x<b时，有f(x)_J(b)g(x) g(b)即f(x)g(b)> f (b)g(x)可见（A）为正确选选项
（C）点( ) 0, 0 f ( ) 是曲线 y fx = ( ) 的拐点 （D） f ( ) 0 不是 f ( x) 的极值，点(0, 0 f ( )) 不是曲线 y fx = ( ) 的拐点 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 因为 ( ) ' f 0 0 = ，由原关系式 () () 2 '' ' f x fx x + = ⎡ ⎤ , ⎣ ⎦ 知 ( ) '' f 0 0, = 因此点(0, 0 f ( )) 可能为拐点. 由 () () 2 '' ' f x fx x =− = ⎡ ⎤ , ⎣ ⎦ 知 f ( ) x 的三阶导数存在，且 ( ) () ( ) ''' ' '' f x f xf x =− + 2 1 可见 ( ) ''' f 0 1 = 因此在 x = 0 的左侧， ( ) '' f x < 0，对应曲线是下凹（上凸）的；而在 x = 0 的右侧， ( ) '' f x > 0， 对应曲线是上凹（上凸）的. 故点( ) 0, 0 f ( ) 是曲线 y fx = ( ) 的拐点 （3）设函数 f () () x gx , 是大于零的可导函数，且 ( ) ( ) ( ) () ' ' f xgx f xg x − < 0, 则当 axb < < 时，有 （A） f () () () () xgb f bgx > （B） f ( xga f agx ) ( ) () () > （C） f () () () () xgx f bgb > （C） f ( xgx f aga ) ( ) () () > 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知 ( ) ( ) () () () () ( ) ' ' ' 2 0 f x f xgx f x gx gx g x ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = < ⎣ ⎦ 因此当 axb < < 时，有 ( ) ( ) ( ) ( ) , f x fb gx gb > 即 f () () xgb f bgx > ( ) ( ) 可见（A）为正确选选项
6+ f(x)sin6x+xf(x)= 0. 则 lim(4）若lim大x3x20x-→0(A) 0(B) 6(C) 36(D) 0【】【答】应选(C)【详解】方法一：6x因为sin6x=6.x-03!所以有6x-36x +o(x3)+xf (x)sin6x+xf (x)lim=limx3x3x-→00[6+ f (α) -36= limXx-→0=06+f(x)可见lim36x2x-→0方法二：因为sin6x+xf (x)sin6x-6x+6x+xy(x)lim-limx3x3x-→0x-→0sin6x-6x6+f(x)=limx3x2x→0=0所以6+f(x)sin6x-6x6cos6x-6lim-limlim3x21~03x2x-→0x→0-12sin6x×=36=-limx-→(2x（5）具有特解y=e-y2=2xeys=3e的3阶常系数齐次微分方程是(A) y-y-y+y=0(B)y+y-y-y=0(C)y"-6y+1ly-6y=0(D) y-2y'-y+2y=0【【答】应选（B）【详解】由特解知，对应特征方程的根为==-1,=1
（4）若 ( ) 3 0 sin 6 lim 0, x x xf x → x + = 则 ( ) 2 0 6 limx f x → x + 为 （A）0 （B）6 （C）36 （D）∞ 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 方法一： 因为 ( ) ( ) 3 1 3 sin 6 6 6 3! x =− + x x ox 所以有 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 0 0 2 0 sin 6 6 36 lim lim 6 lim 36 0 x x x x xf x x x o x xf x x x f x x → → → + −+ + = ⎡ ⎤ + = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 可见 ( ) 2 0 6 limx f x → x + ＝36 方法二： 因为 ( ) ( ) ( ) 3 3 0 0 3 2 0 sin 6 sin 6 6 6 lim lim sin 6 6 6 lim 0 x x x x xf x x x x xy x x x x x f x x x → → → + −++ = ⎡ − + ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 所以 ( ) 23 2 00 0 0 6 sin 6 6 6cos6 6 lim lim lim 3 12sin 6 lim 36 2 xx x x f x xx x xx x x x →→ → → + − − =− =− − =− = （5）具有特解 12 3 , 2, 3 x xx y e y xe y e − − == = 的 3 阶常系数齐次微分方程是 （A） ''' '' ' y yyy − − += 0 （B） ''' '' ' y yyy + − −= 0 （C） ''' '' ' y y yy − + −= 6 11 6 0 （D） ''' '' ' y yy y − 2 20 −+ = 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 由特解知，对应特征方程的根为 12 3 λ = =− = λ λ 1, 1