全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1997数学一

1997年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析、填空题3sin x+xcos-(1)lim0 (1+cosx)In(1+x)3【答】2:13sin x+xcos-31sinx1xlim+limlim-xcos2x【详解】原式=x→02 x→0x→0 2xx36+0=3/22（2）设幂级数a,x"的收敛半径为3，则幂级数na,（x-1)"的收敛区间为n=0n=l【答】(-2,4)根据幂级数的性质，逐项求导后，得乙na,x""的收敛半径仍为3，故【详解】n=lna,(x-1)** =(x-1)"2na, (x-1)-n=l=的收敛区间为x-1<3,即(-2,4)（3）对数螺线p=e°在点处切线的直角坐标方程为Ax+y=e2【答】【项解1】由于x=pcos,y=psin,螺线方程p=e可化为x=e"cosa,ly=e'sing.由于sinの+cos=-1,且当0=时，x=0,y=e号cos-singlo-dx le-2故所求切线方程为

1997 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、填空题 （1） ( )( ) 2 0 1 3sin cos limx 1 cos ln 1 x x x → x x + = + + . 【答】 3 2 . 【详解】 原式＝ 2 0 00 1 3sin cos 3 sin 1 1 lim lim lim cos 22 2 3 3 0 . 2 2 x xx x x x x x → →→ x x x + = + = += （2）设幂级数 0 n n n a x ∞ = ∑ 的收敛半径为 3，则幂级数 ( ) 1 1 1 n n n na x ∞ + = ∑ − 的收敛区间为 . 【答】 ( ) −2, 4 . 【详解】 根据幂级数的性质，逐项求导后，得 1 1 n n n na x ∞ − = ∑ 的收敛半径仍为 3，故 () () () 12 2 1 1 11 1 n n n n n n na x x na x ∞ ∞ + − = = ∑ ∑ − =− − 的收敛区间为 x − < 1 3, 即( ) −2, 4 . （3）对数螺线 e θ ρ = 在点处切线的直角坐标方程为 . 【答】 2 x y e . π + = 【项解 1】 由于 x y = = ρ cos , sin , θ ρθ 螺线方程 e θ ρ = 可化为 cos , sin . x e y e θ θ θ θ ⎧ = ⎨ ⎩ = 由于 2 2 sin cos 1, cos sin | | dy dx π π θ θ θ θ = = θ θ + = =− − 且当 2 π θ = 时， 2 x 0, . y e π = = 故所求切线方程为

2=-1(x-0),即x+y-022【详解2】螺线方程p=e可化为隐函数方程：In +y =arctan兰x处的导数为y(O)=-1,故所求切线方程为利用隐函数求导法，得在点0.e2元=-1(x-0),即x+y=-P[12-2341(4）设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0.则t3-1【答】-3.【详解】由于B为三阶非零矩阵，且AB=0，可见线性方程组Ax=0存在非零解，故[12-2[4| = 4 3t=0=t=-31311(5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是21【答】S【详解】设A=第一个人取出的为黄球）,B=（第一个人取出的为白球！，C=第二个人取出的为黄球2, P(CIB)= 20.319,P(CIA)=!,P(B)= 3则P(A)=495549由全概率公式知：P(C)= P(A).P(CIA)+ P(B)-P(C[B)2、93,20 19_ 25*495*49"495二、选择题xy(x,y)+(0,0)在点(0,0)处x2(1）二元函数f(x,y)=[0,(x, J)=(0,0)

( ) 2 ye x 1 0, π − =− ⋅ − 即 . 2 x y π + = 【详解 2】 螺线方程 e θ ρ = 可化为隐函数方程： 2 2 ln arctan , y x y x + = 利用隐函数求导法，得在点 2 0,e π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 处的导数为 ( ) ' y 0 1, = − 故所求切线方程为 ( ) 2 ye x 1 0, π − =− ⋅ − 即 . 2 x y π + = （4）设 12 2 4 3, 3 11 At B ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − 为三阶非零矩阵，且 AB = 0,则 t= . 【答】 -3. 【详解】 由于 B 为三阶非零矩阵，且 AB = 0,，可见线性方程组 Ax = 0存在非零解，故 12 2 4 3 0 3. 3 11 At t − = = ⇒ =− − (5)袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一 球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 . 【答】 2 . 5 【详解】 设 A = {第一个人取出的为黄球}, B = {第一个人取出的为白球}，C = {第二个人取 出的为黄球}. 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 19 20 , ,| ,| . 5 5 49 49 PA PB PC A PC B == = = 由全概率公式知： ( ) ( ) ( | | ) ( ) ( ) 2 9 3 20 19 2 . 5 49 5 49 49 5 PC PA PC A PB PC B =⋅ +⋅ =× +× = = 二、选择题 （1）二元函数 ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 , , 0,0 , 0, , 0,0 xy x y f xy x y x y ⎧ ≠ ⎪ = ⎨ + ⎪ = ⎩ ，在点(0,0) 处

（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在(D）不连续，偏导数不存在【【答】应选（C)【详解】由偏导数的定义知f(0+ax,0)- f(0,0)f (0,0)= lim0AX→0aX而当y=kx,有kx·kxxylim= lim1+k2(r,)-(0,0) x2 + y2X0 x2 +k2x?kxy当k不同时，不同，故极限lim不存在，因而f（x,J）在点（0,0)处不连续，1+k2(x,y)-(0,0) x2 + y可见，应选（C）(2)设在区间[a,b]上f(x)>0, f (x)<0, " (x)>0, 令S,=[" f(x)dxS, = f (b)(b-a),S, =,[F (a)+ f (b)](b-a), 则(A) S,<S,<S,(B)S, <S, <S,.(C)S, <S,<S,(D)S, <S, <S)【答】应选（B），tyf(aSSt(b)S20bxa【详解】由f(x)>0,f(x)<0,(x)>0知，曲线y=f(x)在[a,b]上单调减少且是凹曲线弧，于是有f(x)>(b)

（A）连续，偏导数存在. （B）连续，偏导数不存在. （C）不连续，偏导数存在. (D) 不连续，偏导数不存在. 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 由偏导数的定义知 ( ) ( ) () ' 0 0 ,0 0,0 0,0 lim 0, x x f xf f → x + − = = + + + 而当 y kx = ,有 ( )( ) 2 2 2 22 2 , 0,0 0 lim lim , xy x 1 xy x kx k → → x y x kx k ⋅ = = + ++ 当 k 不同时， 2 1 k + k 不同，故极限 ( )( ) 2 2 , 0,0 lim x y xy → x + y 不存在，因而 f ( x y, ) 在点( ) 0,0 处不连续， 可见，应选（C）. (2)设在区间[a b, ] 上 () () ( ) ' '' fx f x f x ><> 0, 0, 0 ，令 1 ( ) , b a S f x dx = ∫ 2 3 ( )( ) ( ) ()( ) 1 , 2 S fb b a S fa fb b a = −= + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ，则 （A） 1 2 3. SS S < < (B) 2 1 3. S SS < < (C) 3 1 2. SSS < < (D) 2 3 1. SSS < < 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 由 () () () ' '' fx f x f x ><> 0, 0, 0 知，曲线 y fx = ( ) 在[a b, ] 上单调减少且是凹曲线弧，于 是有 f () () x fb >

()<(a)+)=((x-a),a<x<bb-a从而S, =J'f(x)dx> f(b)(b-a)=S2,S,='()(a)+)-(b-a[(a)+ (b)](b-αa)=S,即S,<S,<S,,故应选（B）2"esin sintdt,则F(x)(3)设F(x)=「（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数【【答】应选（A）【详解】由于esintsint是以2元为周期的，因此F(x)= {** esin sin tdt = [?"esintsintdt- esd cost:0+2"cos?t.esindt>0.故应选（A）[a][b]Cb则三条直线(4)设α=aaα,Q[b,][a,][]ax+by+c=0,ax+b,y+c=0ax+by+c,=0（其中a+b0,i=l,2,3）交于点的充要条件是（A）α,αα线性相关（B）α,αz,α,线性无关(C)秩r(α,α,α)=秩r(α,α,)(D）α,αz,α线性相关，α,α,线性无关【【答】应选(D)【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组

() () () () ( ), . fb fa f x fa x a a x b b a − < + − << − 从而 ( ) ( )( ) () () () () ( ) ( ) ()( ) 1 2 1 3 , 1 . 2 b a b b a a S f x dx f b b a S fb fa S f x dx f a x a dx b a fa fb b a S = > −= ⎡ ⎤ − = <+ − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ = + −= ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ 即 213 S SS < < ,故应选（B）. (3)设 ( ) 2 sin sin , x t x F x e tdt + π = ∫ 则 F x( ) （A） 为正常数. （B）为负常数. （C）恒为零. （D）不为常数. 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由于 sin sin t e t 是以 2π 为周期的，因此 ( ) 2 2 sin sin 0 2 sin 0 2 2 sin 0 sin sin cos 0 cos 0. x t t x t t F x e tdt e tdt ed t t e dt π π π π + = = = − =+ ⋅ > ∫ ∫ ∫ ∫ 故应选（A）. （4）设 111 1 22 23 2 333 , abc abc abc ααα ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ = == ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦ 则三条直线 111 2 2 2 3 3 3 ax by c ax by c ax by c + += + + = + += 0, 0, 0（其中 2 2 0, 1,2,3 i i ab i +≠ = ）交于一 点的充要条件是 （A） 123 α , , α α 线性相关. （B） 123 α , , α α 线性无关. （C）秩 ( ) 123 r α , , α α ＝秩 ( ) 1 2 r α ,α （D） 123 α , , α α 线性相关， 1 2 α ,α 线性无关. 【 】 【答】 应选(D). 【详解】 由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组

ax+by+c,=0a,x+by+c,=0[a,x+by+c,=0有唯一解，其充要条件为秩秩r(αj,αz,α）=秩r(αj,α2)=2.（A）、（C）必要但非充分：（B）既非充分又非必要；只有（D）为充要条件，故应选（D），（5）设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是(A) 8.(B) 16.(C) 28.(D) 44.【答】应选（D)【详解】D(3X -2Y)=3°D(X)+2°D(Y)=9×4+4×2=44=2z绕=轴旋转一周形成的曲面三、（1）计算I=J[[(x2+y)dV,其中Q为平面曲线x=0Q与平面z=8所围成的区域【详解】利用柱面坐标，积分区域可表示为r2Q=3(0,r,2)10≤0≤2元,0≤r≤4,≤282于是I = J," dof, rdr [2r’dz = 2元1024元3x?+y?=1(2）计算曲线积分Φ(z-y)dx+(x-2)dy+(x-y)dz,其中C是曲线[x-y+z=2(从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的【详解1】令x=cos0,y=sin0,则z=2-x+y=2-cos0+sino由于曲线C是顺时针方向，其起点和终点所对应0值分别为0=2元，θ=0于是(z-y)dx+(x-2)dy+(x-y)d=J°-[2(sino+cos0)-2cos20-1do

111 222 333 0 0 0 ax by c ax by c ax by c ⎧ + += ⎪ ⎨ + += ⎪ ⎩ + += 有唯一解，其充要条件为秩秩 ( ) 123 r α , , α α ＝秩 r(α1 2 ,α ) ＝2. （A）、（C）必要但非充分；（B）既非充分又非必要；只有（D）为充要条件，故应选（D）. （5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量3 2 X − Y 的方差是 （A）8. （B）16. （C）28. （D）44. 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 ( ) () ( ) 2 2 D X Y D X DY 3 2 3 2 9 4 4 2 44. − = + =×+×= 三、（1）计算 ( ) 2 2 I x y dV, Ω = + ∫∫∫ 其中 Ω 为平面曲线 2 2 0 y z x ⎧ = ⎨ ⎩ = 绕 z 轴旋转一周形成的曲面 与平面 z = 8 所围成的区域. 【详解】 利用柱面坐标，积分区域可表示为 ( ) 2 , , | 0 2 ,0 4, 8 , 2 r θ θπ rz r z ⎧ ⎫ Ω= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 于是 2 2 2 48 4 2 3 00 0 2 2 8 2 1024 . 3 r r I d rdr r dz r dr π θ π π ⎛ ⎞ = =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∫ ∫∫ ∫ （2）计算曲线积分 ( )( ) ( ) , C z y dx x z dy x y dz − +− +− v∫ 其中C 是曲线 2 2 1 , 2 x y xyz ⎧ + = ⎨ ⎩ −+= 从 z 轴正向往 z 轴负向看，C 的方向是顺时针的. 【详解 1】 令 x y = = cos , sin , θ θ 则 z xy =−+ =− + 2 2 cos sin θ θ 由于曲线C 是顺时针方向，其起点和终点所对应θ 值分别为θ = 2 , 0. π θ = 于是 ( )( ) ( ) ( ) 0 2 2 sin cos 2cos 2 1 C z y dx x z dy x y dz d π θ θ θθ − +− +− =− + − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ v