1995年全国硕士研究生入学统一考试经济数四试题详解及评析填空题1+x(1)设lim(te'dt则常数a=x-→【答】2左边=lim[(1+)=e°,【详解】右边=J" te dt=]" de =te'-[" e'dt=αe"-e",由左边=右边，得e"=αe"-e"，解得α=2,f(u)可导，则x+yz,=（2）设z=xy）【答】2z【详解】因为=()+()()=()兰(),=对(9)+()=对()+()于是-)+()+（xz, + yz, = xyf(3)设f'(lnx)=1+x,则f(x)=【答】x+e"+C【详解】令Inx=t,则x=e于是由题设有f'(t)=1+e',即 f'(x)=1+er
1995 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数四试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 1 lim( ) a ax t x x te dt x →∞ −∞ + = ∫ 则常数 a = _. 【答】 2 【详解】 左边 1 lim[(1 ) ] , x x e x α α →∞ =+= 右边 , t tt t te dt tde te e dt e e αα α α α α α −∞ −∞ −∞ −∞ = = = − =− ∫∫ ∫ 由左边=右边,得e ee , α α α = − α 解得α = 2. （2）设 , () y z xyf f u x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 可导，则 x y xz yz ′ + ′ = _. 【答】 2z 【详解】 因为 2 2 , x y y y yy y z yf xy f yf f x x x xx x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ′ = + ⋅ ⋅− = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 , y y y yy z xf xy f xf yf x xx x x ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ′′ ′ = + ⋅ ⋅= + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 于是 2 2 x y y yy y xz yz xyf y f xyf y f x xx x ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ′′ ′ ′ += − + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 2 y xyf z x ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （3）设 f ′( ) ln 1 , x x = + 则 f ( ) x = _. 【答】 x x + + e C 【详解】 令 ln , x = t 则 , t x = e 于是由题设有 () 1 ,t f ′ t e = + 即 ( ) 1 , x f ′ x e = +
故f(x)= [(1+e)dx=x+e*+C100722，A是A的伴随矩阵，则（A"）(4)设A=0134 5]-[0010-10【答】15-532-511210【详解】因为AA"=A|E,从而100101-53-1-50410A2-12L105(1+x若-1≤x≤0（5）设X是一个随机变量，其概率密度为f(x)1-x若0<x≤1，则方差[o其他D(X)=1【答】6[详解] E(X) = [ xf(x)dx= [ xf(x)dx+['x(1- x)dx= 0D(X)= E(X)= [x°f(x)dx=x(1+x)dx+J(-x)dx=6二、选择题()-f(1-x)=-1,则曲线y=f(x)在点（1）设f(x）为可导函数，且满足条件lim2x(1,f(1))处的切线斜率为
故 () 1 . ( ) x x f x e dx x e C = + =+ + ∫ （4）设 100 2 2 0, 345 ∗ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A 是 A 的伴随矩阵，则( ) −1 ∗ A = _. 【答】 1 0 0 10 1 1 0 . 5 5 3 21 10 5 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】因为 , ∗ AA AE = 从而 ( ) ( ) 1 1 1 0 0 10 1 1 1 11 0 . 10 5 5 3 21 10 5 2 ∗ − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ A A A= A= A A （ 5 ） 设 X 是一个随机变量，其概率密度为 1 10 ()1 0 1 0 x x fx x x ⎧ + −≤ ≤ ⎪ ⎨ − <≤ ⎪ ⎩ 若 若 其他 ，则方差 D X( ) _. = 【答】 1 6 【详解】 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) (1 ) 0, X xf x dx xf x dx x x dx +∞ −∞ − = = + −= ∫ ∫∫ E 2 2 ( ) ( ) () X X x f x dx +∞ −∞ = = ∫ D E 0 1 2 2 1 0 1 (1 ) (1 ) . 6 x x dx x x dx − = ++ −= ∫ ∫ 二、选择题 （1）设 f ( ) x 为可导函数，且满足条件 0 (1) (1 ) lim 1, x 2 f fx → x − − = − 则曲线 y fx = ( ) 在点 ( ) 1, (1) f 处的切线斜率为
(A)2.(B)-1.(C)(D) - 2.应选(D)【答】【详解】本题实际上是要求(1)，由题设-1(-)-lm -x)-)lim→02x2→0-xf(1)=-1,得f'(1) = -2.（2）下列广义积分发散的是IxAsinxe-rdx(C)L(D)dxxln2x【答】应选(A)11sinx【详解】由于x=0是的间断点，且lim=1根据极限判敛法便知1sinxx-0x1-dx发散.sinx矩阵A=E-αα,B=E+2αα其中E是n阶单位(3)设n维列向量α矩阵，则AB等于(B)-E(C)E(D)E+α"α(A)0.【答】(C)【详解】AB=(E-αα)(E+2αα)=E+2αα-αα-2αα=E+αα-2α(αα)α=E+αα-2._αα=E（4）设矩阵Am的秩为R(A)=m<n,E为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是
() () () ( ) 1 2. 1. . 2. 2 AB C D − − 【答】 应选( ) D . 【详解】 本题实际上是要求 f ′( ) 1 ,由题设 0 0 (1) (1 ) 1 (1 ) (1) lim lim x x 2 2 f f x f xf → → x x − − −− = − ( ) 1 1 1, 2 = =− f ′ 得 f ′( ) 1 2. = − （2）下列广义积分发散的是 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 . . sin 1 A dx B dx x x − − − ∫ ∫ () () 2 2 0 2 1 . . ln x C e dx D dx x x +∞ ∞ − ∫ ∫ 【答】 应选( ) A . 【详解】 由 于 x = 0 是 1 sin x 的间断点，且 0 1 sin lim 1, x 1 x x → = 根据极限判敛法便知 1 1 1 sin dx x ∫− 发散. (3)设 n 维列向量 1 1 ,0, ,0, 2 2 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ α " ，矩阵 T T A = E -αα,B = E + 2αα其中 E 是 n 阶单位 矩阵，则 AB 等于 ( ) A 0. （B）— E （C） E (D) T E +α α 【答】 (C) 【详解】 T T TT T AB E E E =( - )( + 2 )= + 2 - - 2 α α α α α α α α α α T TT = + -2 ( ) E α α α αα α 1 2 . 2 T T =+ − = E αα αα i E （4）设矩阵 Am n× 的秩为 ( ) , R mn A = < Em 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是
(A)A的任意m个列向量必线性无关(B)A的任意m阶子式不等于零(C)A通过初等行变换，必可以化为(Em,O)的形式(D）非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多组解【答】应选(D)【详解】对于Amxn，若r(A)=m,则每个行向量添加一个分量后得(A:b),其秩序仍为m,即 r(A)= r(A:b),,所以Ax=b一定有解,又m<n,故有无穷多解(A)(B)中“任意”应改为“存在”；(C)中若改为通过初等变换（包括行、列变换），则必可化为(E，O)的形式只有(D)为正确答案（5）设随机变量X服从正态分布N(u,α2)，则随的增大，概率P(1X-<)(A)单调增大.(B)单调减小,(C)保持不变(D)增减不定【答】应选(C)【详解】由于X～N(u,α"），则Y=X-"~ N(0.1),P(X-μ<)=P(|<1)可知此概率不随α和μ的变化而改变三、(本题满分6分)-cosx),x<0,设f(x)=x=0,试讨论f(x)在x=0处的连续性和可导性cost'dt,x>0
( ) A A的任意m 个列向量必线性无关. ( ) B A的任意m 阶子式不等于零. ( ) C A 通过初等行变换，必可以化为(Em ,O)的形式. (D) 非齐次线性方程组 Ax b = 一定有无穷多组解. 【答】 应选( ) D . 【详解】 对于 , Am n× 若 r m () , A = 则每个行向量添加一个分量后得 ( ), A#b 其秩序仍为 m ,即 rA r ( ) ( ), = A#b 所以 Ax=b 一定有解,又 m n < ,故有无穷多解. ( )( ) A 、B 中“任意”应改为“存在”； ( ) C 中若改为通过初等变换（包括行、列变换），则必可化为(Em ,O) 的形式. 只有( ) D 为正确答案. （5）设随机变量 X 服从正态分布 ( ) 2 N µ,σ ，则随σ 的增大，概率 P X{ − < µ σ } ( ) A 单调增大. ( ) B 单调减小. (C) 保持不变 (D) 增减不定 【答】 应选( ) C . 【详解】由于 ( ) 2 X N~ , µ σ ，则 ~ 0,1 , ( ) µ σ − = X Y N P X PY { −< = < µ σ} { 1 . } 可知此概率不随σ 和 µ 的变化而改变. 三、(本题满分 6 分) 设 ( ) 2 2 0 2 1 cos , 0, ( ) 1, 0, 1 cos , 0. x x x x fx x t dt x x ⎧ − < ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎪ ⎪ > ⎩ ∫ 试讨论 f ( ) x 在 x = 0 处的连续性和可导性
【详解】(1)由2sinxcosx)= lim lim3→0XX→0"xcos.x?1.xlim =cost'dt=lim=11x→0-→>0+可知limf(x)=1=f(0)于是，函数f(x)在x=0处连续，(2）分别求f(x)在x=0处的左、右导数12(1-cosx)f'(0)= lim -x2x→0~ x2(1-cos x)- x22sinx-2x= lim=limx33x2X-0r-02cosx-2sinx=lim= lim0.6x3X-→03-0f'cos'dt-1f(0)= lim -cost'dt-xcosx?-1= lim Jo-= limx22x>0*x→0*-2xsinx?= lim -=02X-→0*由于左、右导数都等于0，可见f(x)在x=0处可导，且f(O)=0四、(本题满分6分)求不定积分[(arcsin x)~dx【详解】方法一2x arcsin x dx[(arcsin x) dx = x(arcsin x)? - [1-x=x(aresin x) +J resinda(x)/1-x
【详解】 （1）由 ( ) 2 0 0 2 sin lim 1 cos lim 1, x x x x x x → → − − −= = 2 2 0 0 0 1 cos lim cos lim 1, 1 x x x x t dt x → → + + = = ∫ 可知 0 lim ( ) 1 (0). x fx f → = = 于是，函数 f ( ) x 在 x = 0 处连续, （2）分别求 f ( ) x 在 x = 0 处的左、右导数. ( ) 2 0 1 2 1 cos (0) lim 1 x x f x x − → − ⎡ ⎤ − ′ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) 2 3 2 0 0 2 1 cos 2sin 2 lim lim x x 3 x x x x x x → → − − − − − = = 0 0 2cos 2 sin lim lim 0, x x 6 3 x x x → → − − − − = == 2 0 0 1 1 (0) lim cos 1 x x f t dt x x + → + ⎛ ⎞ ′ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2 2 0 2 0 0 1 cos cos 1 lim lim 2 x x x t dt x x x x x → → + + − − = = ∫ 2 0 2 sin lim 0 x 2 x x → + − = = 由于左、右导数都等于 0，可见 f ( ) x 在 x = 0 处可导，且 f ′(0 0. ) = 四、(本题满分 6 分) 求不定积分 2 (arcsin ) . x dx ∫ 【详解】 方法一: 2 2 2 2 arcsin (arcsin ) (arcsin ) . 1 x x x dx x x dx x = − − ∫ ∫ 2 2 2 arcsin (arcsin ) (1 ) 1 x x x dx x =+ − − ∫