2000年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题dz(1) 其中f,g均可微，则设zxVaxVX5+-兰【答】28Oz=f"y+f!+g'【详解】gax7dx设(2)er+e2-元【答】4ee"dxdt11+dx+o【详解】=1-arctan-er +e2-re? +t?eloee' +(er)1(-)-元（2-4)=4e1111（3）已知四阶矩阵A与B相似；矩阵为A的特征值则行列式2'3'4'5BI-E|=【答】241111【详解】因为A与B相似，而相似矩阵有相同的特征值，所以B得四个特征值2'3'4'5又由Bx=,x,0,有(B-E)可见矩阵B-E有特征值--1，即1，2，23，4.从而有行列式B-E=1×2X3X4=24(3)设随机变量X的概率密度为1[5, xe[0. 1]2xe[3,6],若k使得 P(X ≥k)=，则k的取值范围是f(x)=93其他0
2000 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 , , x y z f xy g y x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 其中 f , g 均可微，则 z x ∂ = ∂ _. 【答】 1 2 2 1 . y yf f g x x ′′ ′ + − 【详解】 2 12 2 2 1 1 . z yy f y f g yf f g x y x xx ∂ ⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅ + ⋅− = + − ′ ′ ′ ′′ ′ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ （2） 设 2 1 x x dx e e +∞ − = + ∫ _ 【答】 . 4e π 【详解】 ( ) 2 22 2 11 1 1 arctan 0 x x x x x x dx e dx dt t e t ee et e e e e +∞ +∞ +∞ − +∞ = == + + + ∫∫ ∫ 1 e e 24 4 ⎛ ⎞ π π π = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （ 3 ）已知四阶矩阵 A 与 B 相似；矩阵为 A 的特征值 1111 , 2345 则行列式 -1 B -E =_. 【答】 24 【详解】 因为 A 与 B 相似，而相似矩阵有相同的特征值，所以 B 得四个特征值 1111 , 2345 又由 0, Bx = x, λi i λ ≠ 有( ) -1 1 1 i x x λ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ B -E ，可见矩阵 B-E 有特征值 1 1 λi − ，即 1，2， 3，4.从而有行列式 -1 B -E =1×2×3×4＝24 （3） 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) [ ] [ ] 1 , 0,1 , 3 2 , 3,6 , 9 0, x fx x ⎧ ∈ ⎪ ⎪ ⎪ = ∈ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 其他 若 k 使得 { } 2 , 3 PX k ≥ = 则k 的取值范围是_
【答】[1,3]2【详解】由题设P[X≥k)，知道3P(X<k)=1-2=→,而P(X<k)=,(x)da,3-3再对照概率密度函数的定义，可见上式成立的充要条件是1≤k≤3.此时dr=PlX <k)3J0.3若x>0(1若X=0,（5）假设随机变量X在区间[-1,21上服从均匀分布，随机变量Y=0若x<0-1则方差DY=8【答】9【详解】因为X在区间[-1.21上服从均匀分布，所以其密度函数为[1-1≤x≤213f(x) =[0其他E于是P(Y=-1)= P(X <0)=2P(Y = 0) = P(X = 0)= 02P(Y =1) = P(X >0)=2因此2.11E(Y)=-1×+0×0+1×2333E()=(-1)*×++0° ×0+12×133故 D(M)=E(r")-[E(I)}"=1-↓=99选择题(1)设对任意的x，总有p(x)≤f(x)≤g(x),且lim[g(x)-(x))=0，则limf(x）(A）存在且等于零(B)存在但不一定为零(C）一定不存在(D)不一定存在[【答】[D]【详解】 若令p(x)=1-e-,g(x)=1+e-l,f(x)=1 ，则有
【答】 [1,3] 【详解】 由题设 { } 2 , 3 PX k ≥ = 知道 { } 2 1 1 , 3 3 PX k < =− = 而 { } () . k P X k f x dx −∞ < = ∫ 再对照概率密度函数的定义，可见上式成立的充要条件是1 3. ≤ k ≤ 此时 { } 1 0 1 1. 3 3 P X k dx <= = ∫ （5）假设随机变量 X 在区间[−1,2]上服从均匀分布，随机变量 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < = > = 1 0 0 X 0 1 0 x x Y 若 若 若 ， 则方差 DY =_. 【答】 9 8 【详解】因为 X 在区间[−1,2]上服从均匀分布，所以其密度函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ = 0 其他 1 2 3 1 ( ) x f x 于是 { } 3 1 P{Y = -1} = P X < 0 = P{Y = 0} = P{ } X = 0 = 0 { } 3 2 P{Y = 1} = P X > 0 = 因此 3 1 3 2 0 0 1 3 1 E(Y) = −1× + × + × = 1 3 2 0 0 1 3 1 ( ) ( 1) 2 2 2 2 E Y = − × + × + × = 故 9 8 9 1 ( ) ( ) [ ( )] 1 2 2 D Y = E Y − E Y = − = 二、 选择题 （1）设对任意的 x ，总有ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x), 且 lim[ ( ) − ( )] = 0 →∞ g x x x ϕ ，则 lim f (x) x→∞ (A) 存在且等于零 (B)存在但不一定为零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在 【 】 【答】 [ D] 【详解】 若令 ( ) = 1− , ( ) = 1+ , ( ) = 1 − − x e g x e f x x x ϕ ，则有
p(x)≤f(x)≤g(x),且 lim[g(x)-(x))= 0, lim f(x)= 1可排除（A）（C）两个选项又如0(x)=e*-e-l,g(x)=e-l +e*, f(x)=er显然p(x),g(x),f(x)满足题设条件，但limf(x)不存在。因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项(2）设函数f(x)在点x=a处可导，则函数f(x)在点x=a处不可导的充分条件是(B）f(a)=0且f(a)±0(A)f(a)=0且f(a)=0(C) f(a)>0且f(a)>0(D)f(a)<0且f'(a)<0【答】(B)【详解】举反例进行说明：如f(x)=x2在点×=0处，f(0)=0,F(0)=0，并不能推倒出(x)=x2在点x=0处不可导，排除（A）f(x)=x在点x=1处，f()>0，f(1)>0，但f(x)=x2在点x=1处可导，排除（C);同样，f(x)=-x2在点x=1处，f(1)<0，f(1)<0,但f(x)=x2,在点x=1处可导，排除(D)剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即f(a)=0且f(α)+0时,有[(x)-(a) = - limf(x)lim-f(a)x-ax-→af(x)-f(a)-- 1m[-1(0),limx-→a+x-ax-a可见当f(α)≠0时，|f(x)在点x=α处的左、右导数不相等,因此导数不存在故f(a)=0且(a)0是f(x)在点x=a处不可导的充分条件（3）设a,az,a,是四元非齐次线形方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3,a,=(1,2,3,4),a,+a,=(0,1,2,3),c表示任意常数，则线形方程组
ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x), 且 lim[ ( ) − ( )] = 0, →∞ g x x x ϕ lim ( ) = 1 →∞ f x x 可排除（A）（C）两个选项. 又如 x x x x x x = e − e g x = e + e f x = e − − ϕ( ) , ( ) , ( ) 显然ϕ(x), g(x), f (x)满足题设条件，但 lim f (x) x→∞ 不存在。 因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项. （2）设函数 f ( ) x 在点 x = a 处可导，则函数 f (x) 在点 x = a 处不可导的充分条件是 (A) ( ) 0 ( ) 0 ' f a = 且f a = （B） ( ) 0 ( ) 0 ' f a = 且f a ≠ (C) ( ) 0 ( ) 0 ' f a > 且f a > (D) ( ) 0 ( ) 0 ' f a < 且f a < 【 】 【答】 （B） 【详解】 举反例进行说明：如 2 f (x) = x 在点 x = 0 处， (0) 0, (0) 0 ' f = f = ，并不能推倒出 2 f (x) = x 在点 x = 0处不可导，排除（A） 2 f (x) = x 在点 x = 1处， f (1) > 0 ， (1) 0 ' f > ，但 2 f (x) = x 在点 x = 1处可导， 排除（C）； 同样， 2 f (x) = −x 在点 x = 1处， f (1) < 0 ， (1) 0 ' f < ,但 2 f (x) = x ,在点 x =1 处可导,排除(D). 剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即 f a() 0 = 且 f a'( ) 0 ≠ 时,有 () () ( ) lim lim '( ) , xa xa fx fa f x f a xa xa → → − − − =− =− − − () () ( ) lim lim '( ) . x a x a fx fa f x f a xa xa → + → + − =− =− − − 可见当 f a'( ) 0 ≠ 时, f (x) 在点 x = a 处的左、右导数不相等,因此导数不存在. 故 f a() 0 = 且 f a'( ) 0 ≠ 是 f (x) 在点 x = a 处不可导的充分条件. （3）设 123 aa a , , 是四元非齐次线形方程组 AX=b 的三个解向量，且秩 (A)=3, 1 (1,2,3,4)T a = , 2 3 (0,1,2,3)T a a + = ,c 表示任意常数，则线形方程组
AX=b得通解X=(1)0(10212(B)(A)3323（4（4)/13213242(C)(D)3435（4）(56)4)【【答】(C)【详解】由题设，r（A)=3，可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系又根据解的性质知2α -(αz +α,)=(α -α,)+(α -α,)=(2,3,4,5) ±0为对应齐次线性方程组的解即可作为基础解系，从而线性方程组Ax=b的通解为221323x=α+c4X552故正确选项为(C)（4）设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组（I）：Ax=O和（I）xAx=0，必有（A）（I）的解都是（I）的解，（I）解也是（II）的（B）（II）的解都是（I）的解，但（I）解不是（II）的（C）（I）解不是（I）的，（I）的解不是（I）的解（D）（I）解是（I）的，但I）的解不是（I）的解[】【答】(A)【详解】设x是Ax=0的解，则显然A为Ax=0，即（I）解是（I）的反过来，设x为xAx=0的解，即A为Ax=0，则有x"ATAx=(Ax)' (Ax)=0,从而可以推出Ax=0
AX = b 得通解 X = (A) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 1 4 3 2 1 c (B) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 0 4 3 2 1 c (C) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5 4 3 2 4 3 2 1 c (D) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 6 5 4 3 4 3 2 1 c 【 】 【答】 （C） 【详解】. 由题设,r (A)=3, 可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个 数为 4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系. 又根据解的性质知 1 23 12 13 2 ( ) ( ) ( ) (2,3,4,5) 0 T α αα αα αα −+ =−+− = ≠ 为对应齐次线性方程组的解,即可作为基础解系,从而线性方程组 Ax = b 的通解为 1 21 2 32 3 . 43 4 54 5 xc c ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ =+ = + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ α 故正确选项为(C) （4）设 A 为 n 阶实矩阵， T A 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：Ax = 0 和（Ⅱ） 0 T x Ax = ，必有 （A）（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）解也是（Ⅱ）的. （B）（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的. （C）（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解 （D）（Ⅰ）解是（Ⅱ）的，但Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解 【 】 【答】 （A） 【详解】 设 x 是 Ax = 0 的解，则显然 T A 为 Ax = 0 ，即（Ⅰ）解是（Ⅱ）的；反过来， 设 x 为 0 T x Ax = 的解，即 T A 为 Ax = 0 ，则有 ( )( ) 0, T T T x A Ax Ax Ax = = 从而可以推出 Ax = 0
因为若设Ax=(a,a2,a)则(Ax)（Ax)=a+a,+..+a,=0于是有α=α,==a,=0,即Ax=0，说明（II）的解也是（I）的解.故正确选项为(A)（5）在电炉上安装4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t。，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，设To)≤T2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件(A) (Ta) ≥to)(B) (T(2) ≥ to).(D) (T(4) ≥to) -(C) {T(3) ≥to) *【答】 (C)【详解】，“电炉断电”这一事件E发生，意味着四个温控器至少有两个显示的温度值大于或等于to,即若将4个温控器上的值Ta),T(2),T(s),T(4)从小到大排列的话,排在第3的温度值一定大于或等于to,即有(T(3)≥to),故正确为(C)三、（本题满分6分）求微分方程y"-2y-e2*=0满足条件y(0)=0,y(0)=1的解【详解】对应齐次方程y"-2y=0的特征方程为2-2元=0其特征根为^=0,=2对应的齐次方程的解为y=C,+C,ex由于α==2为单根，因此可设非齐次方程的特解为y=Axe将(y) =(A+2Ax)e?*(y)=4A(1+x)e2*30-1所将y(0)=0,y(0)=1代入通解，求得C,=，从而所求满足初始条件的特解为C2442+le++xe"y=44°+2四、（本题满分6分）
因为若设 ( ) 1 2 , , T n Ax = aa a " ,则( )( ) 22 2 1 2 0, T n Ax Ax = aa a + ++ = " 于是有 1 2 0, n aa a ==== " 即 Ax = 0 ，说明（Ⅱ）的解也是（Ⅰ）的解.故正确选项为(A) （5）在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两 个温控器显示的温度不低于临界温度 0t ，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，设 T(1) ≤ T(2) ≤ T(3) ≤ T(4) 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于事 件 (A) { } (1) 0 T ≥ t . (B) { } (2) 0 T ≥ t . (C) { } (3) 0 T ≥ t . (D) { } (4) 0 T ≥ t . 【 】 【答】(C) 【详解】. “电炉断电”这一事件 E 发生,意味着四个温控器至少有两个显示的温度值大 于或等于 0t ,即若将 4 个温控器上的值 (1) (2) (3) (4) TTTT , 从小到大排列的话,排在第 3 的温度 值一定大于或等于 0t ,即有{ } (3) 0 T ≥ t ,故正确为(C). 三、（本题满分 6 分） 求微分方程 2 2 0 x y ye ′′ ′ −−= 满足条件 y y (0) 0, (0) 1 = ′ = 的解. 【详解】 对应齐次方程 y y ′′ ′ − = 2 0 的特征方程为 2 λ λ − = 2 0. 其特征根为 1 2 λ = = 0, 2 λ 对应的齐次方程的解为 2 1 2 . x y C Ce = + 由于 2 a = = λ 2 为单根，因此可设非齐次方程的特解为 2 . x y Axe ∗ = 将( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 41 . x x y A Ax e y A x e ∗ ∗ ′ ′′ =+ = + 将 y y (0) 0, (0) 1 = = ′ 代入通解，求得 1 2 3 1 , . 4 4 C C = = 从而所求满足初始条件的特解为 31 1 2 2 . 44 2 x x y e xe =+ + 四、（本题满分 6 分）