2002年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析填空题,则lim ln["-2na+1,（1）设常数a±2n(1-2a)1【答】1-2a1-2na+101-26【详解】因为lim1-2a"=lim[1+n(1-2a)n(1-2a)1所以 lim ln["-2na+],=lnel1-2an(1-2a)(2）已知f(x)的一个原函数为ln2x，则「xf(x)dx=【答】2lnx-ln2x+C【详解】由题设(x)=(ln x)"=2lnx,，根据分布积分有[xf(x)dx=[xdf(x)=xf(x)-[f(x)dx2lnx-In? x+C=2lnx-ln?x+C.x,B=A?-3A+2E，则B-"(3)设矩阵A210【答】2-1-1(2)-3(2)+2E=-(2 )B=A°-3A+2E 【详解】(2)-{所以B-(4)设向量组α,=(a,0,c),α,=(b,c,0),α,=(0,a,b)线性无关,则a,b,c必须满足关
2002 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1）设常数 1 , 2 a ≠ 则 2 1 lim ln[ ] (1 2 ) n n n na →∞ n a − + − = . 【答】 1 1 2 − a 【详解】 因为 2 1 lim[ ] (1 2 ) n n n na →∞ n a − + − = 1 1 (1 2 ) 12 12 1 lim[1 ] (1 2 ) n a a a n e n a − − − →∞ + = − i 所以 1 1 2 21 1 lim ln[ ] ln (1 2 ) 1 2 n a n n na e na a − →∞ − + = = − − . （2）已知 f ( ) x 的一个原函数为 2 ln x ，则 xf x dx '( ) = ∫ . 【答】 2 2ln ln x − x C+ 【详解】 由题设 f ( ) x ＝ 2 2ln (ln )' x x x = ，根据分布积分有 xf x dx xdf x xf x f x dx '( ) ( ) ( ) ( ) = =− ∫∫ ∫ 2ln 2 2 ln 2ln ln . x x C x xC x = − += − + (3)设矩阵 2 1 1 , 32 2 3 ⎛ ⎞ − = =−+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A BA A E ，则 −1 B = . 【答】 1 0 2 1 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − 【详解】 2 BA A E =−+ 3 2 2 11 11 21 3 2 23 23 2 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − −− = − += ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E ， 所以 1 1 1 21 01 1 0 2 20 22 2 1 1 − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ == = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − B （4）设向量组 123 α === ( ,0, ), ( , ,0), (0, , ) a c bc ab α α 线性无关,则 abc , , 必须满足关
系式【答】abc±0【详解】三个三维向量α,α,α,线性无关的充要条件是行列式Jabo(afa,,a)=0ca=2abc±0,0bC即abc0（5）设随机变量X,Y的联合概率密度分布为PN1X-1000.070.150.1810.080.320.20则X,Y的相关系数p=【答】0【详解】由题设，有0Y（0.40.6）0.150.50.35于是E(X)=0.6,E(Y)=-1×0.15+0×0.5+1×0.35=0.2又X,Y的分布规律为XY-101P0.720.200.08于是E（XY）=-1×0.08+0x0.72+1×0.20=0.12，从而 Cov(X,Y)= E(X,Y)-E(X)E(Y)= 0.12-0.6×0.2 =0
系式 . 【答】 abc ≠ 0 【详解】 三个三维向量α1 α2 α3线性无关的充要条件是行列式 ( ) 1 23 0 , , 0 2 0, 0 TTT a b c a abc c b ααα = =≠ 即 abc ≠ 0 （5）设随机变量 X,Y 的联合概率密度分布为 Y X －1 0 1 0 1 0．07 0.18 0.15 0．08 0.32 0.20 则 X ,Y 的相关系数 ρ = . 【答】 0 【详解】 由题设，有 01 10 1 , , 0.4 0.6 0.15 0.5 0.35 X Y ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∼ ∼ 于是 E X EY ( ) 0.6, ( ) 1 0.15 0 0.5 1 0.35 0.2, = =− × + × + × = 又 X ,Y 的分布规律为 XY -1 0 1 P 0.08 0.72 0.20 于是 E XY ( ) 1 0.08 0 0.72 1 0.20 0.12 =− × + × + × = ， 从而Cov X Y E X Y E X E Y ( , ) ( , ) ( ) ( ) 0.12 0.6 0.2 0 = − = −×= i ， P
Cov(X,Y)=0故相关系数p/D(X)/D(Y)二、选择题(1）设函数f(x)在闭区间[a,bl上有定义,在开区间（a,b）上可导，则(A) 当f(a)F(b)<0时,存在≤e(a,b),使f()=0(B)对任何(a,b),有limLf(x)-f())=0(C) 对 f(a)=f(b)时,存在三e(a,b),使 f()=0(D)存在.e(a,b),使f(b)-f(a)=f'()(b-a)【答】[B]【详解】由题设，f(x)在(E(a,b)处可导,从而连续，故有lim[f(x)-f())=0.应选(B)（2）设函数f(x)连续，则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是(A) J,f(t)+ f(-1)dt.(B) JLF(t)-f(-1)]dt(C) f f(r)dt.(D) J。 f(0)di.【答】[A]【详解】F(x)=[f(t)dt 的奇偶性与f(a)的奇偶性的关系是:若f(x)为偶函数,则F(x)为奇函数；若f(x)为奇函数,则F(x)为偶函数题设四个选项中tLf(t)+f(-t)为奇函数故[Lf()+f(-t)]dt.必为偶函数所以,应选(A)0A（3）设A,B为n阶矩阵，A,B分别为A,B对应的伴随矩阵,分块矩阵CB 0则C的伴随矩阵C*=
故相关系数 ρ ＝ (,) 0. ( ) () Cov X Y D X DY = 二、选择题 （1）设函数 f ( ) x 在闭区间[,] a b 上有定义,在开区间(,) a b 上可导,则 (A) 当 fafb () () 0 < 时,存在ξ ∈( , ), ( ) 0. ab f 使 ξ = (B) 对任何ξ ∈(,) a b ,有lim[ ( ) ( )] 0. x fx f ξ ξ → − = (C) 对 f () () a fb = 时,存在ξ ∈(,) a b ,使 f '( ) 0 ξ = (D) 存在.ξ ∈(,) a b ,使 f ( ) ( ) '( )( ). b fa f b a − = − ξ 【答】 [ B] 【详解】 由题设, f ( ) x 在ξ ( (,) ξ ∈ a b 处可导,从而连续, 故有lim[ ( ) ( )] 0. x fx f ξ ξ → − = 应选(B). （2）设函数 f ( ) x 连续，则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 (A) 0 [ ( ) ( )] . x t f t f t dt + − ∫ （B） 0 [ ( ) ( )] . x t f t f t dt − − ∫ (C) 2 0 (). x f t dt ∫ (D) 2 0 () . x f t dt ∫ 【答】 [ A ] 【详解】 0 ( ) () x F x f t dt = ∫ 的奇偶性与 f ( ) x 的奇偶性的关系是: 若 f ( ) x 为偶函数,则 F x( )为奇函数; 若 f ( ) x 为奇函数,则 F x( )为偶函数. 题设四个选项中tft f t [ ( ) ( )] + − 为奇函数, 故 0 [ ( ) ( )] . x t f t f t dt + − ∫ 必为偶函数 所以,应选(A). （3）设 A,B 为 n 阶矩阵, * * A ,B 分别为 A,B 对应的伴随矩阵,分块矩阵 , ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A O C O B 则C 的伴随矩阵 * C =
[AA*0BB*0(BA[B|B"00AA'[A|B0BA0(C)(D)B|A"[A|B00【答】[D]【详解】若A,B均可逆，则A -AA",B'=BB-从而 C"=|C|C- =|A|B[B|A|A-I0BA"0A|B*0[A|B|B0对比四个选项知,只有(D)成立当A或B不可逆时，利用定义可证(D)仍成立（4）设X和X,是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f(x)和f(x),分布函数分别为F(x)和F(x),则(A）J(x)+f(x)必为某一随机变量的概率密度(B)F(x)F(x)必为某一随机变量的分布密度(C)F(x)+F(x)必为某一随机变量的分布密度1(D)f(x)f(x)必为某一随机变量的概率密度【答】[B][[f(x)+ f (x)]dx=[fi(x)dx+ f(x)dx=2 + 1知,可排除(A);【详解】由[2e-2x,x>0[e",x>0(0,xs0 05(a)=又如f(x)=[0,x≤0[2e-3x,x>0但f(x)f(x)=，不能作为某一随机的概率密度,可排除(D)10,x≤0F(+0)+ F(+)=1+1=21,可排除(C)
(A) * * ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ AA O O BB （B） * * ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ BB O O AA (C) * * ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ AB O O BA (D) * * B B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A O O A 【答】 [ D ] 【详解】 若 A,B 均可逆, 则 * 1* 1 , , − − A = = AA B BB 从而 1 1 * 1 1 B − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ == = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A O A O C CC AB A O B O B 1 * 1 * . − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ B AA O BA O O A BB O AB 对比四个选项知,只有(D)成立. 当 A 或 B 不可逆时,利用定义可证(D)仍成立. （4）设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为 1 f ( ) x 和 2f ( ) x ,分布函数分别为 1 F x( ) 和 2 F x( ) ,则 (A) 1 2 f () () x fx + 必为某一随机变量的概率密度. (B) 1 2 F xF x () () 必为某一随机变量的分布密度 (C) 1 2 Fx Fx () () + 必为某一随机变量的分布密度 (D) 1 2 f () () xf x 必为某一随机变量的概率密度 【答】 [ B ] 【详解】 由 [ ] 12 1 2 f x f x dx f x dx f x dx () () () () 2 1 +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ + = + =≠ ∫ ∫∫ 知,可排除(A); 又如 2 1 2 ,0 2,0 () , () , 0, 0 0, 0 x x ex e x fx fx x x − − ⎧ ⎧ > > = = ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ ≤ ≤ 但 3 1 2 2, 0 () () , 0, 0 x e x f xf x x − ⎧ > = ⎨ ⎩ ≤ 不能作为某一随机的概率密度,可排除(D); 1 2 F F ( ) ( ) 1 1 2 1, +∞ + +∞ = + = ≠ 可排除(C)
故(B)为正确选项(5)设随机变量X,X,,X相互独立分布,S,=X+X,+..+X.,则根据列维一林德柏格（Levy-Lindberng)中心极限定理当n充分大，S.近似服从正态分布，只要X.,X...,X（A）有相同的数学期望：(B）有相同的方差服从同一指数分布。(C)(D）服从同一离散型分布【答】[C]【详解】根据列维一林德柏格定理的条件,要求X,X,..,X,独立分布,且E(X）与D(X)均存在,(A)(B)两项不能保证同分布,可排除;(D)项服从同一离散项分布,但不能保证EX..DX存在也可排除：只有（C）为正确选项三、（本题满分8分）*arctan(1+t)dtjdu求极限limx→0x(1- cos x)【详解】方法一：arctan(1+t)dtjduarctan(1+t)dtlim=limx→0x(1-cOsx)x-01-cosx+xsinx2x arctan(1+x)2 lim arctan(1+x2)lim= limm2sinx+cosx0sinx+sinx+xcosxx=2.元1_元436方法二：arctan(1+t)dt jduarctan(1+t)dtjdulim2lim00x3x(1- cos x)arctan(1+t)dt2 arctan(1+ x)=2lim2lim3x26x-→0X-02元_元346
故(B)为正确选项. （5）设随机变量 1 2 , , X X X . n 相互独立分布, 1 2 , n n S XX X = + ++ " 则根据列维—林 德柏格(Levy-Lindberng)中心极限定理,当 n 充分大, n S 近似服从正态分布,只要 1 2 , , X X X . n (A) 有相同的数学期望. (B) 有相同的方差. (C) 服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布. 【答】 [C ] 【详解】根据列维—林德柏格定理的条件,要求 1 2 , , X X X . n 独立分布,且 ( ) E Xi 与 ( ) D Xi 均存在,(A)(B)两项不能保证同分布,可排除;(D)项服从同一离散项分布,但不能保证 , EX DX i i 存在,也可排除;只有(C)为正确选项. 三 、（本题满分 8 分） 求极限 2 0 0 0 [ arctan(1 ) ] lim (1 cos ) x u x t dt du → x x + − ∫ ∫ 【详解】 方法一: 2 00 0 0 0 [ arctan(1 ) ] arctan(1 ) lim lim (1 cos ) 1 cos sin xu x x x t dt du t dt → → x x xx x + + = − −+ ∫∫ ∫ 2 2 0 00 2 arctan(1 ) 1 lim 2lim arctan(1 )lim sin sin cos 2sin cos x xx x x x x xx x x x x → →→ + = =+ + + + 1 2 43 6 π π = = i i 方法二: 2 2 00 00 3 0 0 [ arctan(1 ) ] [ arctan(1 ) ] lim 2lim (1 cos ) xu xu x x t dt du t dt du → → xx x + + = − ∫∫ ∫∫ 2 2 0 2 0 0 arctan(1 ) 2arctan(1 ) 2lim 2lim 3 6 x x x t dt x → → x x + + = = ∫ 2 . 34 6 π π = = i