1998年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析、填空题（1）设曲线f(x)=x"在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(5m,0),则limf(,）=e~1【答】【详解】因为df (x)-1 df (x)nndxdxx = 1故过(1,1)的切线方程为y-1=n(x-1)当y=0时，得5,=x=1-n因此lim(5.)= lim-e-Inx-(2)dxx2Inx【答】+Cx【详解】Inx-dx=(Inx-)(Inx-1)+-d(lnx-1InxInx+(-dx:xXxX1Inx+x（3）差分方程2y++10y-5t=0的通解为y, =C(-5)【答】216【详解】差分方程可化为标准形式：LCy+I+5y =其通解为
1998 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设曲线 ( ) n f x x = 在点( ) 1,1 处的切线与 x 轴的交点为(ξ n ,0 ,) 则 lim ( ) n n f ξ →∞ = _. 【答】 1 e− 【详解】 因为 ( ) ( ) 1 , , 1 n df x df x nx n dx dx x − = = = 故过( ) 1,1 的切线方程为 y nx −= − 1 1. ( ) 当 y = 0时，得 1 1 , n x n ξ = =− 因此 ( ) 1 1 lim lim 1 . n n n n e n ξ − →∞ →∞ ⎛ ⎞ = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （2） 2 ln 1 x dx x − = ∫ _ 【答】 ln x C x − + 【详解】 ( ) ( ) ( ) 2 ln 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 x dx x d x d x x xx x − ⎛ ⎞ = − − =− − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫ 2 ln 1 1 ln 1 1 x x dx C x x x x xx =− + + =− + − + ∫ ln . x C x =− + （3） 差分方程 1 2 10 5 0 t t y yt + + −= 的通解为_ 【答】 ( ) 5 1 5 . 12 6 t t yC t ⎛ ⎞ = −+ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 【详解】 差分方程可化为标准形式： 1 5 5 , 2 t t y yt + + = 其通解为
y, =C(-5)-00710-20（4）设矩阵A,B满足ABA=2BA-8E，其中A=E为单位矩阵，A为ALo1]0的伴随矩阵，则B=[200]【答】0-40[o 0 2]【详解1】将已知矩阵方程组两边分别左乘A，右乘A-得A(ABA)A- = A(2BA)A- - A(8E)A-!化简有JAB=2AB-8E.又[4| = -2,因此(A+E)B=4E.于是2201-10B=4E(A+E)-=4 002L01120012007-40=4000021011200【详解2】对A'BA=2BA-8E两边分别左乘A，分别右乘A-"，利用AA*=AE以及AA-"=E得[AB=2AB-8E.因此，B=8(2A-|A|E)而
( ) 5 1 5 . 12 6 t t yC t ⎛ ⎞ = −+ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （4） 设矩阵 A,B 满足 2 8 ∗ A BA = BA E − ，其中 100 0 2 0, 001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A E 为单位矩阵， ∗ A 为 A 的伴随矩阵，则 B = _ 【答】 200 0 40 002 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解 1】 将已知矩阵方程组两边分别左乘 A ，右乘 −1 A 得 ( ) ( ) ( ) 1 11 2 8, ∗− − − A A BA A = A BA A A E A − 化简有 A B AB E. = − 2 8 又 A = −2, 因此 ( ) A+ E B E. = 4 于是 ( ) 1 1 220 4 40 1 0 002 − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B E A+ E 1 0 0 2 200 40 1 0 0 4 0. 1 002 0 0 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解 2】 对 2 8 ∗ A BA = BA E − 两边分别左乘 A ，分别右乘 −1 A ，利用 ∗ AA AE = 以及 −1 AA E= 得 A B AB E. = − 2 8 因此， ( ) 1 82 . − B A AE = − 而
2A4【详解2】由已知矩阵方程得(2E-A)BA=8E两边分别左乘（2E-A）"，右乘A得B=8(2E- A)"A"=8[A(2E- A)"=8(2A- AA)=8(2A-|A|E)"=8(2A+2E)(A+E)l8.12(5）设X,X,X3,X4是来自正态总体N(o,2）的简单随机样本，X =a(X,-2X,)°+b(3X,-4X.),则当a=,b=时，统计量X服从分布，其自由度为112【答】20100【详解1】即X服从x?分布，则n=2，且须a(X, -2X,)~ N(0,1);Vb(3X, -4X.)~ N(0,1)于是E(X -2X,)=E(X)-2E(X,)=0,D(X -2X,)= D(X)+4D(X,)= 20,E(3X,-4X)=3E(X,)-4E(X)=0D(3X,-4X)=9E(X,)+16E(X)=100
( ) 22 4 2 4 2 2, 2 24 ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − =− − − =− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − A AE 1 1 4 4 2 1 8 2 8 4. 2 4 3 1 4 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ = − = − =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B 【详解 2】 由已知矩阵方程得 ( ) 2 8 ∗ E − = A BA E 两边分别左乘( ) 1 2 − ∗ E A− ，右乘 −1 A 得 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 82 8 2 82 − − − ∗− ∗ ∗ = − ⋅= − = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ B E A A A E A A AA ( ) ( ) 1 1 82 82 2 − − =− =+ A AE A E ( ) 1 2 1 8 4. 2 2 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =⋅ + = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A E （ 5 ） 设 1234 X , XXX 是来自正态总体 ( ) 2 N 0,2 的简单随机样本， ( )( ) 2 2 12 34 X aX X b X X =− + − 2 34, 则当 a = _ ,b = _时，统计量 X 服 从 2 χ 分布，其自由度为_. 【答】 1 1 2 20 100 【详解 1】 即 X 服从 2 χ 分布，则 n = 2 ，且须 aX X N b X X N ( ) 12 34 − − 2 ~ 0,1 ; 3 4 ~ 0,1 . ( ) ( ) ( ) 于是 EX X EX EX ( ) () 12 1 2 −= − = 2 2 0, ( ) DX X DX DX ( ) () 12 1 2 −= + = 2 4 20, ( ) E X X EX EX ( ) () 3 4 3 4 0, 34 3 4 −= − = ( ) D X X EX EX ( ) () 3 4 9 16 100, 34 3 4 −= + = ( )
于是-2X~ N(0.1),3X,-4X ~ N(0.1),V2010且相互独立，由分布的构成知：(X,-2x,) (3x,-4x)Xx (2)2010011所以当a=时，X服从×分布，其自由度为2.b:20100二、选择题f(1)-f(1-x)设周期函数(x)在(-co,+oo)内可导，周期为4.又lim-1则曲线(1)02xy=(x)在点(5,f(5)处的切线斜率为(a)(B)0.(C)-1.(D)-2.【答】应选(D)【详解】由己知f(0)-f(1-x)f(l)-f(1-x)imLlimf'(1)=-1C2x2 x10-x+于是f(1)= -2.又f(x+4)=f(x),两边求导得f'(x+4)= f'(x),故f (5)= f(1) = -2.即曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率f(5)=-21+x,讨论函数(t)的间断点，其结论为(2)设函数f (x)=lim(B)存在间断点x=1(A)不存在间断点
于是 ( ) ( ) 1 2 3 4 2 3 4 ~ 0,1 , ~ 0,1 , 20 10 X X X X N N − − 且相互独立，由 2 χ 分布的构成知： ( ) ( ) ( ) 2 2 12 34 2 2 34 ~ 2, 20 100 XX XX X χ − − = + 所以当 1 1 , 20 100 a b = = 时， X 服从 2 χ 分布，其自由度为 2. 二、选择题 （1） 设周期函数 f ( x) 在( ) −∞ +∞ , 内可导，周期为 4.又 ( ) ( ) 0 1 1 lim 1, x 2 f fx → x − − = − 则曲线 y fx = ( ) 在点( ) 5, 5 f ( ) 处的切线斜率为 ( ) () () ( ) 1 . 0. 1. 2. 2 AB C D − − 【 】 【答】 应选( ) D 【详解】 由已知 () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 11 11 1 1 lim lim 1 1, x x 22 2 f fx f fx f → → x x −− −− = = =− ′ − 于是 f ′(1 2. ) = − 又 f ( x fx + = 4 , ) ( ) 两边求导得 f ′ ′ ( ) () x fx + = 4 , 故 f f (5 1 2. ) = ( ) = − 即曲线 y fx = ( ) 在点( ) 5, 5 f ( ) 处的切线斜率 f ′(5 2. ) = − （2） 设函数 ( ) 2 1 lim , 1 n n x f x →∞ x + = + 讨论函数 f ( x) 的间断点，其结论为 ( ) A 不存在间断点. (B) 存在间断点 x =1
(C)存在间断点x=0(D)存在间断点x=-1【】【答】应选(B)【详解】由于[0,x>1,1+x(x)= lim -1,x=0,01+x2n[1+x,x<1.可见，x=1为f(x）的间断点x+x+2x=0,（3）齐次线性方程组x+x,+=0，的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵B+0,使得[+x+x=0AB=0,则(A)=-2且B=0(B)=-2且B+0(C)=1且|B = 0.(D)=1且|B ± 0.[】【答】应选(C)【详解1】由题设条件：AB=0,且B+O知方程组Ax=0,存在非零解，于是A=0即[11元1=0,1元1解得入=1.于是111[1111:111由AB=O,知道ATBT=O.故方程组B"x=0存在非零解，于是B=B=0【详解2】因为AB=0,所以r(A)+r(B)≤3
( ) C 存在间断点 x = 0 (D) 存在间断点 x = −1. 【 】 【答】 应选( ) B 【详解】 由于 ( ) 2 0, 1, 1 lim 1, 0, 1 1 , 1. n n x x fx x x x x →∞ ⎧ > + ⎪ = =− = ⎨ + ⎪ ⎩ + < 可见， x =1为 f ( ) x 的间断点. （3）齐次线性方程组 2 12 3 1 23 12 3 0, 0, 0 xx x x xx xx x λ λ λ λ ⎧ ++ = ⎪ ⎨ + += ⎪ ++ = ⎩ 的系数矩阵记为 A ，若存在三阶矩阵 B O≠ ,使得 AB = O,则 ( ) A B λ λ =− = =− ≠ 2 0. 2 0 . 且 且 B B ( ) ( ) C D λ λ == =≠ 1 0. 1 0. 且 且 B B ( ) 【 】 【答】 应选( ) C 【详解 1】 由题设条件： AB = O,且 B O≠ 知方程组 Ax = O,存在非零解，于是 A = 0, 即 2 1 1 1 0, 1 1 λ λ λ λ = 解得λ =1. 于是 111 1 1 1. 111 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 由 AB = O,知道 T T A B = O. 故方程组 0 T B x = 存在非零解,于是 0. T B B = = 【详解 2】 因为 AB = O, 所以 r r ( A B ) + ( ) ≤ 3