2001年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析、填空题V3-x-V1+x(1) limx?+x-2J2【答】6V3-x-V1+x2(1-x)lim=lim【详解】→-I(x-1)(x+2) /3-x+/1+xx2+x-211limV2+-1x+2-V26(2)设函数y=f(x)由方程e2*+y-cos(xy)=e-1所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为【答】x-2y+2=0.【详解】在等式e2x+y-cos(xy)=e-1两边对x求导,得e2+y (2+y)+sin(xy) (y+xy ) = 0,将x=0,y=1代入上式,得y(0)=-2.故所求法线方程为y-1=2即x-2y+2=0.cosxdx=3元【答】8元元上,xcosx是奇函数,sinxcosx是偶函数，在区间【详解】2'2故
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 一、填空题 （1） 2 1 3 1 limx 2 x x → x x −− + = + − . 【答】 2 6 − 【详解】 2 1 3 1 limx 2 x x → x x −− + = + − ( ) ( )( ) 1 2 1 1 lim 1 2 3 1 x x → x x x x − ⋅ − + − + + 1 1 1 lim 2 2 2 6 x→ x = − + − = ⋅ (2)设函数 y fx = ( ) 由方程 ( ) 2 cos 1 x y e xy e + − =− 所确定,则曲线 y fx = ( ) 在点( ) 0,1 处的法 线方程为 . 【答】 x y − += 2 2 0. 【详解】在等式 ( ) 2 cos 1 x y e xy e + − =− 两边对 x 求导,得 ( ) ( ) ( ) 2' ' 2 sin 0, x y e y xy y xy + ⋅+ + ⋅+ = 将 x = = 0, 1 y 代入上式,得 ( ) ' y 0 2. = − 故所求法线方程为 1 1 , 2 y x − = 即 x y − += 2 2 0. (3) ( ) 32 2 2 2 x sin cos x xdx π π − + = ∫ . 【答】 8 π 【详解】 在区间 , 2 2 ⎡ ⎤ π π −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 上, 3 2 x cos x 是奇函数, 2 2 sin cos x x 是偶函数, 故
2[(xcosx+sinxcos"x)dx=sin2xdx+sinx)cosxdx=-41.0(1-cos 4x)dx元18y且满足关系式yarcsinx+(4)过点=1的曲线方程为Vi-x21【答】yarcsinx=x2【详解】方法一：y原方程yarcsinx+=1可改写为Vi-x?(yarcsin x) = 1,两边直接积分，得yarcsinx=x+c.-0,解得c=又由y2故所求曲线方程为：-yarcsinx= x2方法二：将原方程写成一阶线性方程的标准形式1y+arcsinxJi-xarcsinxarcsinVi-x"aresinx解得y=ee(c+x);arcsinx故曲线方程为：1yarcsinx=x-2
( ) 32 2 2 2 x sin cos x xdx π π − + = ∫ ( ) 32 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin cos sin 2 4 x x x x dx xdx π π π π − − + = ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 cos 4 8 . 8 x dx π π π − = − = ∫ (4)过点 1 ,0 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 且满足关系式 ' 2 arcsin 1 1 y y x x + = − 的曲线方程为 . 【答】 1 arcsin . 2 y xx = − 【详解】 方法一: 原方程 ' 2 arcsin 1 1 y y x x + = − 可改写为 ( )' y x arcsin 1, = 两边直接积分,得 y x xc arcsin . = + 又由 1 0, 2 y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 解得 1 . 2 c = − 故所求曲线方程为： 1 arcsin . 2 y xx = − 方法二: 将原方程写成一阶线性方程的标准形式 ' 2 1 1 . 1 arcsin arcsin y y x x x + = − 解得 y e = ( ) 1 2 1 arcsin 2 1 1 arcsin 1 arcsin 1 , arcsin dx x x dx c e dx x x x e cx x ∫ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − + − ⎣ ⎦ ∫ ∫ = + 1 1 0 . 2 2 y c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⇒ =− ⎝ ⎠ 故曲线方程为： 1 arcsin . 2 y xx = −
a(5)设方程O有无穷多个解,则a=111-2allx【答】-2【详解】方法一利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形有1a[1-211:1a.A=11:103aa-1.0a:-2]01-a1+2a1-:-21a.30 a-1(a-1)00(a-1)(a+2) : 2(a+2)可见,只有当α=-2时才有秩r(A)=r(A)=2<3,对应方程组有无穷多个解方法二：当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的α一定使系数行列式为零,即有a11a 1=(a+2)(a-1)° =0,解得a=-2或a=1由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当α=1时,原方程无解,因此只能是α=-2二、选择题-h - 0 (1) 设f(x)=(A)0.(B)1.[1, |x≤1,[0,|x|≤1,(D)(C)[0, |x| >1.[1, x>1.【【答】应选(B)【详解】因为(x)≤1,[(x)]=1,于是从而([()])=1
(5)设方程 1 2 3 11 1 11 1 11 2 a x a x a x ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 有无穷多个解,则 a = . 【答】 -2 【详解】 方法一: 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有 2 11 1 1 1 2 1 1 1 0 11 3 1 1 2 01 1 12 a a Aa a a a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ = → −− → ⎣ ⎦⎣ ⎦ − −− + # # # # # # ( ) ( )( ) ( ) 11 2 0 1 1 3, 00 1 2 2 2 a a a aa a ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ − − −+ + ⎣ ⎦ # # # 可见,只有当 a = −2 时才有秩 rA rA ( ) = =< ( ) 2 3, 对应方程组有无穷多个解. 方法二: 当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的 a 一定使系数行列式 为零,即有 ( )( )2 1 1 1 1 2 1 0, 1 1 a a aa a =+ − = 解得 a = −2 或 a =1. 由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当 a =1时,原方程无解,因此只能是 a = −2. 二、选择题 （1）设 ( ) 1, 1, , 0, 1 x f x x ⎧ ≤ = ⎨ ⎩ > 则 f { f fx ⎡ ⎣ ( )⎤ ⎦} 等于 (A) 0 . (B)1. (C) 1, 1, 0, 1. x x ⎧ ≤ ⎨ ⎩ > (D) 0, 1, 1, 1. x x ⎧ ≤ ⎨ ⎩ > 【 】 【答】 应选(B). 【详解】 因为 f x( ) ≤1, 于是 f fx ⎡ ⎤ ( ) =1, ⎣ ⎦ 从而 ff x { ⎡ ⎤ ( ) } =1. ⎣ ⎦
故正确选项为(B)(2)设当x→0时,(1-cosx)In(1+x)是比xsinx"高阶的无穷小,xsinx"是比(e-1)高阶的无穷小,则正整数n等于(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.【答】应选(B)【详解]由题设,知x2.x2(1-cos x)In(1+31-12limlimlimx3-n1=0.-lim2 1-0 x"-3xsinx"x.x"2 x→0x→0x->0n应满足n≤2;+!xsin.x"又由lim=lim=0limxx-0 er _-1xX→010知n≥2.故n=2因此正确选项为(B)(3)曲线y=(x-1)(x-3)的拐点个数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答】应选(C).【详解】因为y = 4(x-1)(x-2)(x-3)J' = 4(3x2 -12x+11),y" = 24(x-2),令=0,即3x-12x+11=0,因为△=122-4.3.11=12>0所以"=0有两个根，且不为2,因在此两点处,三阶导数+0,因此曲线有两个拐点故正确选项为(C)(4)已知函数(x)在区间(1-,1+)内具有二阶导数，(x)严格单调减少，且f(1)=f (1)=1,则(A)在(1-8,1)和(1,1+8)内均有f(x)<x(B)在(1-8,1)和(1,1+) 内均有f(x)>x
故正确选项为(B). (2)设当 x → 0 时,( ) ( ) 2 1 cos ln 1 − + x x 是比 sin n x x 高阶的无穷小, sin n x x 是比( ) 2 1 x e − 高阶 的无穷小,则正整数n 等于 (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 【 】 【答】 应选(B). 【详解] 由题设,知 ( ) ( ) 2 2 2 3 3 0 0 00 1 1 cos ln 1 1 11 2 lim lim lim lim 0. sin 2 2 n n nn x x xx x x x x x x x xx x − → → →→ − ⋅ − + = = == ⋅ n应满足 n ≤ 2; 又由 2 1 1 2 0 00 sin lim lim lim 0, 1 n n n x xx x xx x x e x + − → →→ = == − 知 n ≥ 2.故 n = 2. 因此正确选项为(B). (3)曲线 ( )( ) 2 2 yx x =− − 1 3 的拐点个数为 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. 【 】 【答】 应选(C). 【详解】 因为 ( )( )( ) ' y xx x =− − − 41 2 3 ( ) '' 2 y xx = −+ 4 3 12 11 , ( ) ''' y x = − 24 2 . 令 '' y = 0, 即 2 3 12 11 0, x x − += 因为 2 ∆ = −⋅⋅ = > 12 4 3 11 12 0, 所以 0 n y = 有两个根,且不为 2 ,因在此两点处,三阶导数 ''' y ≠ 0, 因此曲线有两个拐点. 故正确选项为(C). (4) 已知函数 f ( ) x 在区间 ( ) 1 ,1 − + δ δ 内具有二阶导数 , ( ) ' f x 严格单调减少 , 且 () () ' f f 1 1 1, = = 则 (A)在( ) 1 ,1 −δ 和( ) 1,1+δ 内均有 f ( x x ) < . (B)在( ) 1 ,1 −δ 和( ) 1,1+δ 内均有 f ( x x ) >
(C)在(1-8,1)内, f(x)<x,在(1,1+)内, (x)>x(D)在(1-8,1)内,f(x)>x,在(1,1+)内, (x)<x[【答】应选(A).【详解】方法一：令F(x)=f(x)-x则F (x)=f(x)-1=f(x)-f(l)由于(x)严格单调减少因此当xe(1-,1)时，F（x)<0,且在x=1处，F(1)=0可见F(x)在x=1处取极大值，即在(1-8,1)和(1,1+)内均有F(x)<F(1)=0也即于(x)<x.故正确选项为（A）方法二：因为(x)严格单调减少,且 (1)=1,则在(1-6,1)内，f(x)>f(1)=1在(1,1+8)内，F(x)<1:从而在(1-8,1)内任一x,有I'r(0)d>f'idt即 (1)-f(x)>1-x,J()=1=f(x)<x而对(1,1+)内任一x,有J'r (0)dt<f'id,即(x)<x.故选（A）：设函数f(x)在定义域内可导，=f(x)的图形如右图所示，则导函数y=f(x)的(5）图形为
(C)在( ) 1 ,1 −δ 内, f ( x x ) < , 在( ) 1,1+δ 内, f ( x x ) > . (D)在( ) 1 ,1 −δ 内, f ( x x ) > , 在( ) 1,1+δ 内, f ( x x ) < . 【 】 【答】 应选(A). 【详解】 方法一： 令 F () () x fx x = − , 则 ( ) ( ) ( ) () ' ' '' Fx f x f x f = −= − 1 1, 由于 ( ) ' f x 严格单调减少, 因此当 x∈ − ( ) 1 ,1 δ 时， ( ) ' F x < 0, 且在 x =1处， ( ) ' F 1 0. = 可见 F ( ) x 在 x =1处取极大值，即在(1 ,1 −δ ) 和(1,1+δ ) 内均有 Fx F ( ) () < 1 0, = 也即 f ( ) x x < . 故正确选项为（A）. 方法二： 因为 ( ) ' f x 严格单调减少,且 ( ) ' f 1 1, = 则在( ) 1 ,1 −δ 内， ( ) () ' ' fx f > = 1 1 在( ) 1,1+δ 内， ( ) ' f x <1； 从而在( ) 1 ,1 −δ 内任一 x, 有 ( ) 1 1 ' 1 , x x f t dt dt > ∫ ∫ 即 f () ( ) () 1 1,11 . − >− =⇒ < f x xf f x x ( ) 而对( ) 1,1+δ 内任一 x, 有 ( ) ' 1 1 1 , x x f t dt dt < ∫ ∫ 即 f ( x x ) < . 故选（A）. （5） 设函数 f ( ) x 在定义域内可导， y fx = ( ) 的图形如右图所示，则导函数 ( ) ' y fx = 的 图形为