2000年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析、填空题arcsinx(1)Jyx【答】2/xarcsinx+2/1-x+C1【详解】令t=√x，则dt=dx,dx=2tdt故2Vxarcsinxarctan tdtdxVx= 2(arctan tot + 1-f)+C=2/x arcsin Vx+2/1-x+C(2)若a>0,b>0均为带数，则lim("+包)2-03【答】 (ab)弓,α*+b*~22a+br3a'+b*α*+b-2lim(= lim(1+X1【详解1】22x->0x→0limg+b*-2lma/na+6*/mb-21=e2x-0x=e2x-0nlinab=(ab)=e22mg'+ha"+b3lim(2.x=limexr【详解2】2x->0x->0a*Ina+b’Inblim 31(a*+6*)-31n23lima'+brx→0=ex-0=eInab=(ab)2=e
2000 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1） = ∫ dx x arcsin x _. 【答】 2 x arcsin x + 2 1− x + C 【详解】令t = x .，则 dx dx tdt x dt , 2 2 1 = = 故 arcsin 2 arctan x dx tdt x = ∫ ∫ 2 = +− + 2(arctan 1 ) tt t C i = + −+ 2 arcsin 2 1 x x xC （2）若a > 0,b > 0均为常数，则 x x x x a b 3 0 ) 2 lim( + → =_. 【答】 2 3 (ab) 【详解 1】 3 2 2 2 0 0 2 lim( ) lim(1 ) 2 2 x x x x xx xx a b x ab x x x ab ab + − + − → → + +− = + i 0 0 3 2 3 ln ln 2 lim lim 2 2 1 x x x x x x a b a ab b x e e → → + − + − = = 3 3 ln 2 2 ( ) ab = = e ab 【详解 2】 3 3ln 2 0 0 lim( ) lim 2 x x x x a b x x x x a b e + → → + = 0 0 3ln( ) 3ln 2 ln ln lim 3 lim x x x x x x x x a b a ab b x ab e e → → + − + + = = 3 3 ln 2 2 ( ) ab = = e ab
(3).设α=(,0,-1)"，矩阵A=aa，n为正整数，则aE-A"=【答】α?(a-2")10-1因为A=αα：000【详解1】aa=2-1 01故有A"=αααα..aαα=α(α"α)"-lα =2"-l A故有aE-A"=E-2"-"Aα- 2n-12n-000a=α'(a-2")21-10a-2n【详解2】因为A满足：A?=2A，因此A的三个特征值为=，=0,，=2（三根之和等于A的对角线上三个因素之和），从而aE-A"的三个特征值为：a-”，即a,a,a-2”，故有aE-A=a-a(a-2")=a(a-2").（4）已知四阶矩阵A相似于B；A的特征值2、3、4、5.E为四阶单位矩阵，则B-E|=【答】24【详解】因为A相似于B，所以B得四个特征值为2，3，4，5.从而矩阵B-E的特征值为入，-1，即1，2，3，4.故行列式B-E=1X2×3×4=24[1若x>0若X=0,（5）假设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量Y=0若x<0-1则方差DY=8【答】19【详解】因为X在区间[-1,2]上服从均匀分布，所以其密度函数为
(3) .设 T a = (1,0,−1) ，矩阵 T A = aa ，n 为正整数，则 _ n aE A− = . 【答】 ( 2 ) 2 n a a − 【详解 1】 因为 10 1 0 0 0, 2 10 1 T T ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − A αα αα ， 故有 n TT T A =⋅⋅ αα αα αα " 1 1 () 2, Tn T n − − = = ααα α A 故有 1 2 n n a a − E −=− AE A 1 1 2 1 1 2 02 0 0 ( 2) 2 02 n n n n n a a aa a − − − − − = =− − 【详解 2】因为 A 满足： 2 A = 2A ， 因此 A 的三个特征值为λ1 = λ2 = 0,λ3 = 2 （三根之和等于 A 的对角线上三个因素之 和 ）， 从 而 n aE − A 的三个特征值为： n a − λi ， 即 n a,a,a − 2 ，故有 2 ( 2 ) ( 2 ). n nn a aa a a a E A− =⋅⋅ − = − （4）已知四阶矩阵 A 相似于 B ； A 的特征值 2、3、4、5.E 为四阶单位矩阵，则 B-E =_. 【答】 24 【详解】 因为 A 相似于 B ，所以 B 得四个特征值为 2，3，4，5.从而矩阵 B - E 的特 征值为λi −1，即 1，2，3，4.故行列式 B-E =1×2×3×4＝24 （5）假设随机变量 X 在区间[−1,2]上服从均匀分布，随机变量 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < = > = 1 0 0 X 0 1 0 x x Y 若 若 若 ， 则方差 DY =_. 【答】 9 8 【详解】因为 X 在区间[−1,2]上服从均匀分布，所以其密度函数为
[1-1≤x≤23f(x) =[o其他于是P(Y=-I)= P(X <0)=I3P(Y = 0) = P(X = 0)= 0P(Y=1) = P(X >0)-23因此E(M)=-1×I+0x0+1x-=I3-33E()=(-1)×+0~ ×0+1×=13318故 D(Y)= E(2)-[E(Y)} =1-９99二、选择题(1)设对任意的x，总有 p(x)≤f(x)≤g(x),且lim[g(x)-p(x))=0，则lim f(x)(A）存在且一定等于零(B)存在但不一定为零(C）一定不存在(D)不一定存在【答】[D]【详解】若令p(x)=1-e-l,g(x)=1+e-l,f(x)=1 ，则有p(x)≤ f(x)≤g(x),且 lim[g(x)- p(x)]= 0, lim f(x)=1可排除（A）（C）两个选项又如p(x)=e -e-l,g(x)=e-l +e*,f(x)=e显然p(x),g(x),(x)满足题设条件，但limf(x)不存在。因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项(2）设函数f(x)在点x=a处可导，则函数f(x)在点x=a处不可导的充分条件是f(a)=0且f(a)±0(A) f(a)=0且f (a)=0(B)
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ≤ = 0 其他 1 2 3 1 ( ) x f x 于是 { } 3 1 P{Y = -1} = P X < 0 = P{Y = 0} = P{ } X = 0 = 0 { } 3 2 P{Y = 1} = P X > 0 = 因此 3 1 3 2 0 0 1 3 1 E(Y) = −1× + × + × = 1 3 2 0 0 1 3 1 ( ) ( 1) 2 2 2 2 E Y = − × + × + × = 故 9 8 9 1 ( ) ( ) [ ( )] 1 2 2 D Y = E Y − E Y = − = 二、选择题 （1）设对任意的 x ，总有ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x), 且 lim[ ( ) − ( )] = 0 →∞ g x x x ϕ ，则 lim f (x) x→∞ (A) 存在且一定等于零 (B)存在但不一定为零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在 【答】 [ D] 【详解】 若令 ( ) = 1− , ( ) = 1+ , ( ) = 1 − − x e g x e f x x x ϕ ，则有 ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x), 且 lim[ ( ) − ( )] = 0, →∞ g x x x ϕ lim ( ) = 1 →∞ f x x 可排除（A）（C）两个选项. 又如 x x x x x x = e − e g x = e + e f x = e − − ϕ( ) , ( ) , ( ) 显然ϕ(x), g(x), f (x)满足题设条件，但 lim f (x) x→∞ 不存在。 因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项. （2）设函数 f ( ) x 在点 x = a 处可导，则函数 f (x) 在点 x = a 处不可导的充分条件是 (A) ( ) 0 ( ) 0 ' f a = 且f a = （B） ( ) 0 ( ) 0 ' f a = 且f a ≠
(C)f(a)>0且f(a)>0(D)f(a)<0且f(a)<0【答】[B]【详解】举反例进行说明：如f(x)=x2在点x=0处，f(0)=0,(0)=0，并不能推倒出f(x)=x2在点X=O处不可导，排除（A）f(x)=x在点x=1处，f(I)>0，()>0，但f(x)=x2在点x=1处可导，排除（C)同样，f(x)=-x2在点x=1处，f(I)<0，f(1)<0,但f(x)=x2,在点x=1处可导,排除(D)剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即f(a)=0且f(α)±0时,有f(x)-f(a))[f(x)]limlim-f'(a)l,x-→ax-ax-[f(x)]-1(a)[f(x)]limlim=-F (a)1ax-a可见当f(a)±0时，f(x)在点x=α处的左、右导数不相等,因此导数不存在故f(a)=0且f(a)±0是f(x)在点x=α处不可导的充分条件（3）设aaz,a,是四元非齐次线形方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3,a,=(1,2,3,4),az+a,=(0,1,2,3),c表示任意常数，则线形方程组AX=b得通解X10221(A)(B)334-4134(C)(D)513(4)(546【答】[C]
(C) ( ) 0 ( ) 0 ' f a > 且f a > (D) ( ) 0 ( ) 0 ' f a < 且f a < 【答】 [B] 【详解】 举反例进行说明：如 2 f (x) = x 在点 x = 0 处， (0) 0, (0) 0 ' f = f = ，并不能推倒出 2 f (x) = x 在点 x = 0处不可导，排除（A） 2 f (x) = x 在点 x = 1处， f (1) > 0 ， (1) 0 ' f > ，但 2 f (x) = x 在点 x = 1处可导， 排除（C）； 同样， 2 f (x) = −x 在点 x = 1处， f (1) < 0 ， (1) 0 ' f < ,但 2 f (x) = x ,在点 x =1 处可导,排除(D). 剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即 f a() 0 = 且 f a'( ) 0 ≠ 时,有 () () ( ) lim lim '( ) , xa xa fx fa f x f a xa xa → → − − − =− =− − − () () ( ) lim lim '( ) . x a x a fx fa f x f a xa xa → + → + − =− =− − − 可见当 f a'( ) 0 ≠ 时, f (x) 在点 x = a 处的左、右导数不相等,因此导数不存在. 故 f a() 0 = 且 f a'( ) 0 ≠ 是 f (x) 在点 x = a 处不可导的充分条件. （3）设 123 aa a , , 是四元非齐次线形方程组 AX=b 的三个解向量，且秩 (A)=3, 1 (1,2,3,4)T a = , 2 3 (0,1,2,3)T a a + = ,c 表示任意常数，则线形方程组 AX = b 得通解 X = (A) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 1 4 3 2 1 c (B) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 0 4 3 2 1 c (C) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 5 4 3 2 4 3 2 1 c (D) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 6 5 4 3 4 3 2 1 c 【答】 [C]
【详解】、由题设，r（A)=3，可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系又根据解的性质知2a -(a, +a,)=(a -a,)+(a -a,)=(2,3,4,5) = 0为对应齐次线性方程组的解,即可作为基础解系,从而线性方程组Ax=b的通解为2R1323x=a+c4345（4）5故正确选项为(C)（4）设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是(A)A与BC独立(B)AB与AUC独立(C)AB与AC独立(D)AUB与AUC独立【答】(A)【详解】在A、B、C两两独立的前提下，A、B、C相互独立的充要条件是(A).因为若A与BC独立,则P(ABC)= P(A)P(BC)= P(A)P(B)P(C),所以A、B、C相互独立.反过来若A、B、C相互独立,则有P(ABC)= P(A)P(B)P(C)= P(A)P(BC),说明(A)成立，而其余选项均无法推出以上结论（5）在电炉上安装4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t。，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”设To)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件(A) (Ta) ≥tol (B) (T(2) ≥to).(C) (T(3) ≥to) (D) (T(4) ≥to) -
【详解】. 由题设,r (A)=3, 可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的 个数为 4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系. 又根据解的性质知 1 23 12 13 2 ( ) ( ) ( ) (2,3,4,5) 0 T a a a aa aa −+ =−+− = = 为对应齐次线性方程组的解,即可作为基础解系,从而线性方程组 Ax b = 的通解为 1 21 2 32 3 . 43 4 54 5 xa c c ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ =+ = + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 故正确选项为(C) （4）设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是 (A) A 与 BC 独立 (B) AB 与 A∪ C 独立 (C) AB 与 AC 独立 (D) A∪ B 与 A∪ C 独立 【答】 (A) 【详解】 在 A、B、C 两两独立的前提下, A、B、C 相互独立的充要条件是(A).因为 若 A 与 BC 独立,则 P ABC P A P BC P A P B P C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), = = 所以 A、B、C 相互独立.反过来.若 A、B、C 相互独立,则有 P ABC P A P B P C P A P BC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), = = 说明(A)成立,而其余选项均无法推出以上结论. （5）在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有 两个温控器显示的温度不低于临界温度 0t ，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”， 设T(1) ≤ T(2) ≤ T(3) ≤ T(4) 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等 于事件 (A) { } (1) 0 T ≥ t . (B) { } (2) 0 T ≥ t . (C) { } (3) 0 T ≥ t . (D) { } (4) 0 T ≥ t