y<Ofo.1-e-iy,0≤y<2但y≥2时，F(y)=1[0,y<0F()={1-e-y,0≤y<2所以，[1,J≥2可见F(y)只在y=2处有一个间断点,故正确选项为(D)三、（本题满分6分）1曲线y=的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为α，试求切线Vx方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？NPoaQ1【详解】由y=，得y'=2.则切点P(a,）处的切线方程为Vx2Ya1(x-a)a2Va3切线与x轴和y轴的交点分别为A(3a,0)和B(0,2Va于是,三角形AOB的面积为13=2JaS=-3a.22a4当切点沿x轴方向趋于无穷远时，有limS=+oo7→+0
0, 0 ; 1 ,0 2 y y e y −λ ⎧ < = ⎨ ⎩ − ≤ < 但 y ≥ 2时, () 1 F y Y = 所以, 0, 0 () 1 ,0 2 1, 2 y y Fy e y y −λ ⎧ < ⎪ = − ≤< ⎨ ⎪ ≥ ⎩ 可见 ( ) F y Y 只在 y = 2 处有一个间断点,故正确选项为(D). 三 、（本题满分 6 分） 曲线 x y 1 = 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a ，试求切线 方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 【详解】 由 1 y , x = 得 3 2 1 ' , 2 y x− = − 则切点 1 P a(, ) a 处的切线方程为 3 1 1 ( ). 2 y xa a a − =− − 切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A a (3 ,0) 和 3 (0, ). 2 B a 于是,三角形 AOB 的面积为 1 39 3 2 4 2 Sa a a = = i i . 当切点沿 x 轴方向趋于无穷远时,有 lim . a S →+∞ = +∞
当切点沿y轴方向趋于无穷远时，有limS=0O四、（本题满分7分）计算二重积分[ydxdy,其中D是由x=-2,y=0,y=2以及曲线x=2y-y?所围成的平面区域D0-2【详解1】如图所示,D=(x,J)/0≤≤2,-2≤x≤-2-)则 J yddy=J.yo dx=2f y-J.2y-dy=4-f/1-(y-1) dy令y-1=sint,则[y/i-(y-1)dy=[(1+sint)cos"tdt.cosidt+.cos sinidi=元2[[ ydxdy = 4 _ 元于是2D【详解2】区域D和D如图所示，有JJ ydxdy= JJ ydxdy,-J] ydxdy,1D+D,D[ ydxdy = [, dx[, ydy = 4易知D+D
当切点沿 y 轴方向趋于无穷远时,有 0 lim 0. a S → + = 四 、（本题满分 7 分） 计算二重积分 , ∫∫ D ydxdy 其中 D 是由 x = −2, y = 0, y = 2 以及曲线 2 x = 2y − y 所围 成的平面区域. 【详解 1】 如图所示, 2 D xy y x y y = ≤ ≤ − ≤ ≤− − {( , ) | 0 2, 2 2 }, 则 2 22 2 2 2 02 0 0 2 2 y y D ydxdy ydy dx ydy y y y dy − − − = =− − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 =− − − 4 1 ( 1) y y dy ∫ 令 y t − =1 sin ,则 2 2 2 2 0 2 y y dy t tdt 1 ( 1) (1 sin )cos π π − −− = + ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 cos cos sin . 2 tdt t tdt π π π π π − − =+ = ∫ ∫ 于是 4 . 2 D ydxdy π = − ∫∫ 【详解 2】 区域 D 和 D1 如图所示,有 1 1 , , D DD D ydxdy ydxdy ydxdy + = − ∫∫ ∫∫ ∫∫ 易知 1 0 2 2 0 4. D D ydxdy dx ydy − + = = ∫∫ ∫ ∫