全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1997数学四

1997年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析填空题设y=(Inx)e/()其中了可微，则dy=(1）ie/[1(nx)+ F() (nx) x【答】【详解】dy=d[(Inx)er()]-[df (In x)]-e() + f(n x)der(t)[r(nx)ae+ (Inx)e0 ()a=e/[(Inx)+(x)(Inx) dx(2）若()+(),则()=元【答】3设f"f(x)dx= A,【详解】则(a)=+4)Cxdx01Ax* 1元A=arctanx0444故A=≥30则|A=（3）设n阶矩阵A=0

1997 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 ( ) ( ) ln f x y f xe = 其中 f 可微，则 dy = _. 【答】 ( ) ( ) () ( ) 1 ln ln f x e f x f x f x dx x ⎡ ⎤ ′ ′ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln fx fx fx dy d f x e df x e f x de = = ⋅+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln ln fx fx f x dx e f x e f x dx x ⎡ ⎤ = ⋅+ ⋅ ′ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) () ( ) 1 ln ln f x e f x f x f x dx x ⎡ ⎤ = + ′ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （2） 若 ( ) ( ) 1 3 2 0 1 , 1 f x x f x dx x = + + ∫ 则 ( ) 1 0 f x dx = ∫ _. 【答】 3 π 【详解】 设 ( ) 1 0 f x dx A = , ∫ 则 ( ) 1 11 3 2 0 00 1 dx A f x dx A x dx x = =+ + ∫ ∫∫ 4 1 1 arctan 0 0 4 44 Ax A x π = + =+ 故 . 3 A π = （3） 设n 阶矩阵 011 11 101 11 110 11 , 111 01 111 10 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ # # # # # ### # # # A 则 A = _

【答】(-1)"-l(n-1)【详解】各列对应元素相加后相等.把第2....,n列加到第一列有1-10[A|=(n-1)101第2,3..n行减去第一行得1:...10111-100...0(n-1)0-10=(-1)"-I(n-1)....:...000（4）设A,B是任意两个随机事件,则P((A+B)(A+B)(A+B)(A+B))=【答】0由于【详解】(A+ B)(A+ B)= AA+ AB+ AB+ B= B(A+ B)(A+ B) = B从而 P((A+ B)(A+ B)(A+B)(A+B)= P(BB)= P(Φ)= 0（5）设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分5布,若 P(X ≥1)=,则P(Y≥)=919【答】275由题设【详解】= P(X ≥1)=1-P(X =0)=1-q2,92故q=1-p=3319从而 P(Y ≥1)=1-P(Y =0)=1-27二、选择题(1）设f(x),p(x)在点x=0的某邻域内连续,且当x→0时，(x)是p(x)的高阶

【答】 1 ( 1) ( 1) n n − − − 【详解】 各列对应元素相加后相等,把第 2, , " n 列加到第一列,有 111 1 101 1 ( 1) 2,3, 110 1 111 0 = −n n " " " " ## # # " A 第 行减去第一行得 1 11 1 1 1 10 0 ( 1) ( 1) ( 1). 00 1 0 00 0 1 n n n − − − =− − − − " " " ## # # " （4） 设 A, B 是任意两个随机事件,则 PABABABAB {( )( )( )( )} ++++ =_. 【答】 0 【详解】 由于 ( )( ) , A+ + = + + += B A B AA AB AB B B ( )( ) A+ += BAB B 从而 P A B A B A B A B P BB P {( )( )( )( )} { } ( ) 0. + + + += = = φ （5） 设随机变量 X 服从参数为(2, ) p 的二项分布,随机变量Y 服从参数为(3, ) p 的二项分 布,若 5 { 1} , 9 P X ≥ = 则 P Y{ 1} ≥ = _. 【答】 19 27 【详解】 由题设 5 2 { 1} 1 { 0} 1 , 9 = ≥ =− = =− PX PX q 故 2 1 3 q p =− = . 从而 2 19 3 { 1} 1 { 0} 1 ( ) . 3 27 PY PY ≥ =− = =− = 二、选择题 （1） 设 f ( ), ( ) x x ϕ 在点 x = 0 的某邻域内连续,且当 x → 0 时， f ( x) 是ϕ ( ) x 的高阶

无穷小则当x→0时，f()sintdt是的(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C）同阶但不等价的无穷小(D)等阶无穷小【答】应选(B)f(x)【详解】由题设lim=0r-=0 p(x)[ f(t)sin tdtf(x)sinxf(x)limlim=0于是limr→0x→0x-0 p(x)xp(x).o(0)dt(2)若f(-x)=f(x)(-o0<x<+o0),在(-00,0)内f"(x)>0,且f"(x)<0,则在(0,+α)内有(A) F'(x)>0, f"(x)<0(B)'(x)>0, f"(x)>0(C)F'(x)<0, f"(x)>0(D) f'(x)<0, f"(x)>0【答】应选(C)【详解】由f(-x)=f(x),得-f'(x)= f'(x), f"(-x)= f'(x)可见当x(0,+o0)时，-xE(-0,0)，且f'(x)=-f'(-x)<0, f"(x)= f(-x)<0所以应选(C).(3)设向量α，αz,α,线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A)a, +α2,α, +ag,α, -αi(B)α, +α,,α, +α,α, +2α, +a(C)a, +2α,,2α, +3α,3α, +a,(D)a,+α +α,2α,-3α,+22α,,3, +5α2-5α

无穷小,则当 x → 0 时, 0 ( )sin x f t tdt ∫ 是的 ( ) A 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 ( ) C 同阶但不等价的无穷小 (D) 等阶无穷小 【答】 应选( ) B 【详解】由题设 0 ( ) lim 0 ( ) x f x → ϕ x = 于是 0 0 00 0 ( )sin ( )sin ( ) lim lim lim 0. () () ( ) x x x xx f t tdt fx x fx xx x → →→ t t dt ϕ ϕ ϕ = == ∫ ∫ （2） 若 f x fx x ( ) ( )( ) − = −∞ < < +∞ ，在(−∞,0)内 f x ′( ) > 0,且 f x ′′( ) < 0, 则在 ( ) 0,+∞ 内有 ( ) () () Af x f x Bf x f x ′ ′′ ′ ′′ >< >> 0, 0 0, 0 ( ) ( ) () ( ) () () Cf x f x Df x f x ′ ′′ ′ ′′ < 0, 0 0, 0 > <> ( ) ( ) () 【答】 应选( ) C 【详解】 由 f ( ) () − = x fx ,得 − = −= f ′ ′ ′′ ′ ( ) x fxf x fx ( ), ( ) ( ) 可见当 x∈ +∞ ( ) 0, 时， − ∈ −∞ x ( ) ,0 ，且 fx f x f x f x ′ ′ ′′ ′ ( ) () =− − < = − < 0, 0 ( ) ( ) 所以应选( ) C . （3） 设向量 123 α , , α α 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( ) 1 22 33 1 A α ++− αα αα α , , ( ) 1 2 2 31 2 3 B α + + ++ αα αα α α , ,2 ( ) 1 2 2 331 C α + ++ 2 ,2 3 ,3 αα ααα ( ) 1 2 31 2 31 2 3 D α ++ − + + α α α α α α α− α ,2 3 22 ,3 5 5

【答】应选(C)【详解】(A):(α +α)-(α, +α,)+(α, -α)= 0(B):(α +α,)-(α, +α)-(α +2α, +α,)=0可见(A)(B)中向量组线性相关，(C)(D)不能直接观察出，对于(C)，令k,(α,+2α,)+k,(2α, +3α,)+k, (3α,+α)=0即(k, +k,)α, +(2k, +2k,)α, +(3k, +3k)α, =0由于αi,αz,α,线性无关，故[k +k,=02k, +2k, =0[3k, +3k, =0[101]因上述齐次线性方程组的系数行列式220=12+0,，033故方程组由惟一零解，即k,=k,=k,=0，故(C)中向量组线性无关，应选(C)(4)非齐次线性方程组Ax=b中未知数的个数为n,方程个数为m，系数矩阵A的秩为r,则(A）r=m时,方程组Ax=b有解(B）r=n时，方程组Ax=b有唯一解(C）m=n时，方程组Ax=b有唯一解(D）r<n时，方程组Ax=b有无穷多解【答】应选(A)【详解】Ax=b有解的充要条件为：r(A)=r(A:b).题设A为mxn矩阵，若r(A)=m.相当于A的m个行向量线性无关,因此添加一个分量后得(A:b)的m个行向

【答】 应选( ) C 【详解】 ( )( ) ( ) A : 0 αα αα αα 12 2 3 31 + −++−= ( ) ( )( ) ( ) B : 20 α α α α −α α α 12 23 1 23 + −+ + += ( ) 可见( )( ) A 、B 中向量组线性相关，(C D )、( )不能直接观察出，对于( ) C ，令 kk k 11 2 2 2 3 3 3 1 ( )( ) α α α α αα + + + + += 2 23 3 0 ( ) 即 ( )( ) kk k k k k 1 31 1 2 2 2 33 + ++ ++ = ααα 22 33 0 ( ) 由于 123 α , , α α 线性无关，故 1 3 1 2 2 3 0 22 0 330 k k k k k k ⎧ + = ⎪ ⎨ + = ⎪ + = ⎩ 因上述齐次线性方程组的系数行列式 101 2 2 0 12 0, 033 = ≠ ， 故方程组由惟一零解，即 123 kkk === 0 ， 故( ) C 中向量组线性无关，应选(C). （4） 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知数的个数为 n ,方程个数为 m ,系数矩阵 A 的秩为 r ,则 (A) r m= 时,方程组 Ax=b 有解. (B) r n = 时, 方程组 Ax=b 有唯一解 (C) m n = 时, 方程组 Ax=b 有唯一解 (D) r n < 时, 方程组 Ax=b 有无穷多解. 【答】 应选( ) A 【详 解】 Ax=b 有解的充要条件为: r rb ( ) ( ). A A = # 题设 A 为 m n × 矩阵,若 rA m () . = 相当于 A 的 m 个行向量线性无关,因此添加一个分量后得( ) A#b 的 m 个行向

量仍线性无关,即有r(A)=r(A:b)所以Ax=b有解.故(A)成立.对于(B)(C),(D)均不能保证r(A)=r(A:b)，既不能保证有解，更谈不上有唯一解或无穷多解(5)设X是一随机变量,E(X)=u,D(X)=α(u,α>0常数),则对任意常数c,必有(A) E(X -c)= E(X°)-c2.(B) E(X -c) = E(X -μ)2(C) E(X -c)?<E(X -μ)2.(D) E(X -c)?≥E(X -μ)?【答】应选(D)E(X-c) =E(X-μ+μ-c))【详解】= E(X-μ)?-E(μ-c)? + 2(μ-c)E(X -μ)E(X -μ)? +(μ-c)? ≥E(X -μ)?故(D)成立三、（本题满分6分）1求极限 lim/--(α?) In(1 + ax)(a±0)x-0"xxax -(1-a2x )In(1+ ax)【详解】原式=limx2-0= lim a+2dxIn(I+ a)-a(l-am)2x2a'x+d2a° In(1 + ax) +a1 + ax=lim22-0四、(本题满分6分)设u=f(x,y,=)有连续偏导数，y=y(x）和z=z(x)分别是由方程e-y=0和#due-xz=0所确定，dxduaf.afdy.afdz()【详解】dxaxOzdxOy dx

量仍线性无关,即有 r rb ( ) ( ). A A = # 所以 Ax=b 有解.故(A)成立.对于(B),(C),(D)均不能保证 r rb ( ) ( ). A A = # ,既不能保证有解,更谈不上有唯一解或无穷多解. (5) 设 X 是一随机变量, 2 EX DX ( ) , ( ) (, 0 = => µ σ µσ 常数),则对任意常数c ,必有 (A) 2 2 EX c EX c ( ) () . − = − (B) 2 2 EX c EX ( ) ( ). −= − µ (C) 2 2 EX c EX ( ) ( ). −< − µ (D) 2 2 EX c EX ( ) ( ). −≥ − µ 【答】 应选( ) D 【详解】 2 2 EX c EX c ()( ) − = −+− µ µ 2 2 = − − −+ − − EX E c cEX ( ) ( ) 2( ) ( ) µ µµ µ 22 2 EX c EX ( ) ( ) ( ). − +− ≥ − µ µ µ 故 (D)成立. 三、(本题满分 6 分) 求极限 2 2 0 1 lim[ ( )ln(1 )] ( 0). x a a ax a → x x − −+ ≠ 【详解】 原式 2 2 2 0 (1 )ln(1 ) limx ax a x ax → x −− + = 2 0 2 ln(1 ) (1 ) limx 2 a a x ax a ax → x + + −− = 3 2 2 2 0 2 2 ln(1 ) 1 lim . x 2 2 a x a ax a ax a → ++ + + = = 四、(本题满分 6 分) 设 u f xyz = ( ) , , 有连续偏导数， y yx = ( ) 和 z zx = ( ) 分别是由方程 0 xy e y − = 和 0 x e xz − = 所确定，求 . du dx 【详解】 , ( ) du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ = +⋅+⋅ ∗ ∂∂ ∂