2001年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析填空题(I)设y=e（c,sinx+C,cosx）（c,C,为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的同解，则该方程为【答】y-2y+2y=0【详解】方法一看出所给解对应的特征根为4,2=1i，从而特征方程为(a-(1+i)(-(1-i))=2-2+2=0,于是所求方程为y-2y+2y=0方法二将已知解代入y+by+cy=0，得e'sinx-(b(c-c)+cc,-2c,)+e*cosx-(b(c,+c,)+c,+2c.).由于e*sinx与e'cosx线性无关，故b(c-c)+cc,=2c,b(c+c)+cc,=-2cj，解得b=-2,c=2显然解法2较解法1麻烦.方法三、由通解y=e(c,sinx+c,cosx)，求得y' =e* (c -c,)sinx+(c +c2)cosx)y' = e*(-2c, sin x+ 2c, cosx)从这三个式子消去c与C，得y-2y+2y=0(2)设r= /x+y2 +2,则 div(gradr)la-2)=2【答】3【详解】根据定义有ar.arOgradraxOyOa)a2r2div(gradr)rraxayOz2_2于是div(gradr)(1,-2,2)/12 +(-2) +2223(3)交换二次积分的积分次序：~dyj,"(x,y)dax=
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、 填空题 (1)设 ( ) 1 2 sin cos x y ec xc x = + （ 1 2 c c, 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的同 解，则该方程为 . 【答】 '' ' yyy − += 2 20 . 【详解】 方法一 看出所给解对应的特征根为 1,2 λ =1± i ，从而特征方程为( ) λ − + ( ) 1 , i ( ) ( ) 2 λ λλ − − = − += 1 2 2 0, i 于是所求方程为 '' ' yyy − 220 + = . 方法二 将已知解代入 '' ' y by cy + += 0，得 sin 2 cos 2 ( ) ( ) 12 1 2 12 2 1 ( ( ) ) x x e x b c c cc c e x b c c cc c ⋅ −+− + ⋅ +++ .由于 sin x e x 与 cos x e x 线性无关，故b c c cc c b c c cc c ( ) 12 1 2 12 2 1 − + = + + =− 2, 2 ( ) ，解得b c = − = 2, 2 显然解法 2 较解法 1 麻烦. 方法三、由通解 ( ) 1 2 sin cos x y ec xc x = + ，求得 ( ) ( ) ( ) ( ) ' 12 12 '' 2 1 sin cos 2 sin 2 cos x x ye cc x cc x ye c xc x = − ++ =− + 从这三个式子消去 1 c 与 2 c ，得 '' ' yyy − += 220 （2）设 2 22 r xyz = ++ , 则 ( ) ( ) 1, 2,2 div gradr | − = . 【答】 2 . 3 【详解】 根据定义有 ( ) 22 2 2 22 2 3 3 33 2 2 r r r xy z gradr i j k i j k x y z rr r xyz rrr rxry rz r div gradr x y z r r r rr ∂∂ ∂ = + + =+ + ∂∂ ∂ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ∂∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ −−− = + + = + + == ∂∂∂ 于是 ( ) ( ) ( ) 1, 2,2 2 2 2 2 2 3 1 22 div gradr | − = = +− + (3)交换二次积分的积分次序： ( ) 0 1 1 2 , y dy f x y dx − − = ∫ ∫
【答】 "dxf" (x,y)dy【详解】因为~dyf,"f (x,y)dx =- dyff(x, y)dx,积分区域为D=((x,y)I-1≤y≤0,1-y≤x≤2)又可将D改写为D=(r,y)[1≤x≤2,1-x≤y≤2),于是有 dyf'"(x, y)dx=-, dy (x,y)dx=-f' dx" (x,y)=I' dxff(x, y)dy(4)设矩阵A满足A?+A-4E=O,其中E为单位矩阵，则（A-E)=(A+2E)【答】【答】由题设，A+A-4E=O有 A+A-2E=2E,(A-E)(A+2E)=2E,也即(A-E):(A+2E)=E(A+2E)故(A-E)(5）设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P(X-E(X)≥2)≤1【答】2【详解】根据切比雪夫不等式有P(x-E(X)≥2)≤D()=1222二、选择题（1）设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如右图所示，则导函数y=f（x)的图形为
【答】 ( ) 2 1 1 0 , x dx f x y dy − ∫ ∫ . 【详解】 因为 () () 01 02 12 11 , , y y dy f x y dx dy f x y dx − − −− = − ∫∫ ∫∫ 积分区域为 D xy y y x = −≤ ≤ − ≤ ≤ {( ) , | 1 0,1 2 , } 又可将 D 改写为 D xy x x y = ≤≤ −≤ ≤ {( ) , |1 2,1 2 , } 于是有 () () () ( ) 0 1 0 2 20 12 11 1 2 1 1 0 , , , y y x x dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy − − −− − − =− =− = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ (4)设矩阵 A 满足 2 A A EO + − = 4 ,其中 E 为单位矩阵，则( ) 1 A E − − ＝ . 【答】 ( ) 1 2 2 A+ E . 【答】 由题设， 2 A + A EO − = 4 ， 有 2 AAE E +− = 2 2 ， ( )( ) A− += EA E E 2 2, 也即 ( ) ( ) 1 2 , 2 A−⋅ + = E AEE 故 ( ) 1 A E − − ＝ ( ) 1 2 2 A+ E （5）设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P X EX { − ( ) ≥ ≤ 2} . 【答】 1 2 . 【详解】 根据切比雪夫不等式有 { } ( ) ( ) 2 1 2 2 2 D X P X EX − ≥≤ = 二、选择题 （1）设函数 f ( ) x 在定义域内可导， y fx = ( ) 的图形如右图所示，则导函数 ( ) ' y fx = 的图 形为
(B)(A)[【答】应选（D）【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线y=f(x)是严格单调增加的，因此当x<0时，一定有厂(x)>0对应y=(x)图形必在x轴的上方，由此可排除（A)，（C)；又y=f(x)的图形在y轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数y=f(μ)图形在y轴一定有两个零点，进一步可排除（B）故正确答案为（D）(2）设函数f(x,J)在点(0,0)附近有定义，且(0,0)=3,F,(0,0)=1，则(A) del0o0 3dx + dy.(B）曲面z=F(x,J)在点(0,0,F(0,0))的法向量为(3,1,1)我[= (x,)在点(0,0. (0,0)的切向量为(1,0,3)(C）曲线y=0(D）曲线=()在点(0.0,(0,0)的切向量为[301)y=O【】【答】应选（C)【详解】题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A)；至于（B），（C）(D)则需要通过具体的计算才能进行区分，令F(x,y,=)=z-f(x,y),则有
【 】 【答】应选（D） 【详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y fx = ( ) 是严格单调增加的，因此当 x < 0 时，一定有 ( ) ' f x > 0对应 ( ) ' y fx = 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）； 又 y fx = ( ) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 ( ) ' y fx = 图 形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）. 故正确答案为（D）. （2）设函数 f ( ) x y, 在点( ) 0,0 附近有定义，且 ( ) ( ) ' ' 0,0 3, 0,0 1 x y f f = = ，则 （A） ( ) 0,0 3 . dz dx dy | = + （B）曲面 z f xy = ( ) , 在点( ) 0,0, 0,0 f ( ) 的法向量为{3,1,1} （C）曲线 ( ) , 0 z f xy y ⎧ = ⎨ ⎩ = 在点( ) 0,0, 0,0 f ( ) 的切向量为{1,0,3} （D）曲线 ( ) , 0 z f xy y ⎧ = ⎨ ⎩ = 在点( ) 0,0, 0,0 f ( ) 的切向量为{3,0,1} 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）； 至于（B），（C）,(D)则需要通过具体的计算才能进行区分， 令 F ( ) xyz z f xy , , = − ( ) ，则有
F=-f",F',=-f,,F'=1因此过点(0,0,F(0,0))的法向量为±-3,-1,1)，可排除（B)：x=xJ==(x,)可表示为参数形式：曲线点J=0，其中点(0,0,F(0,0)的切向量为y=0[z= f(x,0)±(1,0, F (0,0)) =±(1,0,3)故正确选项为（C）(3）设(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为(A)lim(1-cosh)存在）存在(B) 1im>0h[(2h)-f(h)]存在(C) limlim京(h-sinh)存在.(D)lim【【答】应选（B）因为【详解】f(x)lim-1In(1x)h-0h(1-e"）一定存在；反过来，若lim可见，若f（x）在点x=0可导，则极限limf(1-eh14存在，则f(1-e')f(1-eh)hf(x)lim-lim1-ehhhX-0→0h->0x存在，即f(x)在点x=0可导，因此正确选项为（B）至于（A)，（C）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比如，f(x)=x，在x=0处不可导，但[1 - cosh|1-cosh11lim-f (1-cosh)= limlimh?22h-0h->0 hh-→0[h - sinh|[1-sinh1[| = 0 lm (h-sinh)= limlimh?hh-0h-→0均存在，可排除（A）、（C）1,x±0又如f(x)=在x=0处不可导，但0,x=01-1[(2h)- (h)]= lim lim-.0-0.1h-→0 h
' '' '' , ,1 F fF fF x xy yz =− =− = 因此过点( ) 0,0, 0,0 f ( ) 的法向量为 ±− − { 3, 1,1} ，可排除（B）； 曲线点 ( ) , 0 z f xy y ⎧ = ⎨ ⎩ = 可表示为参数形式： ( ) 0 ,0 x x y z fx ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ = ⎩ ，其中点 (0,0, 0,0 f ( )) 的切向量为 { ( )} { } ' 1,0, 0,0 1,0,3 x ± =± f 故正确选项为（C）. （3）设 f ( ) 0 0 = ，则 f ( ) x 在点 x = 0 可导的充要条件为 （A） ( ) 2 0 1 lim 1 cosh h f → h − 存在. （B） ( ) 0 1 lim 1 h h f e → h − 存在. （C） ( ) 2 0 1 lim sinh h f h → h − 存在. （D） ( ) () 0 1 lim 2h h f f h → h ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ 存在 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 lim 1 1 lim ln 1 h h h x f x x f e ex → → h xx − −= ⋅ − 可见，若 f ( ) x 在点 x = 0 可导，则极限 ( ) 0 1 lim 1 h h f e → h − 一定存在；反过来，若 ( ) 0 1 lim 1 h h f e → h − 存在，则 ( ) ( ) ( ) 00 0 1 1 lim 1 lim lim 1 h h h h xh h f x f e fe h x e →→ → x he h − − = − ⋅ =− − 存在，即 f ( ) x 在点 x = 0 可导，因此正确选项为（B）. 至于（A），（C）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比如， f ( ) x x = ,在 x = 0 处不可导，但 ( ) ( ) 2 22 0 00 2 23 0 00 1 1 cosh 1 1 cosh lim 1 cosh lim lim 2 1 1 sinh sinh lim sinh lim lim 0 h hh h hh f h hh h fh h h hh → →→ → →→ − − −= = = − − − = = ⋅= 均存在，可排除（A）、（C）. 又如 ( ) 1, 0 0, 0 x f x x ⎧ ≠ = ⎨ ⎩ = 在 x = 0 处不可导，但 ( ) () 0 0 1 11 lim 2h lim 0 h h f fh → → h h − ⎡ ⎤ − = = ⎣ ⎦
存在，进一步可排除（D）[1114100011000011B:(4）设A=则A与B0001101000011（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似【【答】应选(A)【详解】因为A是实对称矩阵，且其特征值为：2=4.2三2=元，=0.故存在正交矩阵0.使得[40000000中O-"AO=OTAO-00000000可见，则A与B既合同又相似(5)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于1(A) -1(B) 0(C)(D) 1-2[【答】应选（A）【详解】设X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y=n-X，因此X和Y的相关系数为r=-1rarctane三、求(dxe2【详解】arctanerarctane'd(dx:02x2arctaner(1+e2-2*arctane'+e-+arctane)+C四、设函数z=f(x,J)在点(1,1)处可微，且
存在，进一步可排除（D）. （4）设 1111 4 0 0 0 1111 0 0 0 0 , 1111 0 0 0 0 1111 0 0 0 0 A B ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ，则 A 与 B （A）合同且相似 （B）合同但不相似 （C）不合同但相似 （D）不合同且不相似 【 】 【答】 应选(A) 【详解】 因为 A 是实对称矩阵，且其特征值为： 1 234 λ = 4, 0, λλλ === 故存在正交矩阵Q,使得 1 4000 0000 0000 0000 T Q AQ Q AQ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 可见，则 A 与 B 既合同又相似. (5)将一枚硬币重复掷n 次，以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的相关 系数等于 （A）-1 （B）0 （C） 1 2 （D）1 【 】 【答】 应选（A） 【详解】 设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y nX = − ，因此 X 和Y 的 相关系数为 r = −1 三、求 2 arctan x x e dx e ∫ 【详解】 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 arctan 1 arctan 2 1 arctan 2 1 1 arctan arctan 2 x x x x x x x x x x xx x e dx e d e e de e e e e e ee e C − − − − = ⎛ ⎞ =− − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ =− + + + ∫ ∫ ∫ 四、设函数 z f xy = ( ) , 在点( ) 1,1 处可微，且