1998年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析填空题V1+x+V1-x-2(1) limx2r-→01【答】A【详解1】用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换，(V1+x+V-x)-4原式=lim+0 2 (V1+x+V1-x+2)2(V1-x _1)因V1-x= lim-X4x22r-→01.C= limX2x2X-0【详解2】采用洛必达法则，110Vi-x-Vi+x2/1+x 2/1-x原式一=lim→lim-2xx-→04xvi-x?Vi-x-/I+x=lim4xX-→0-1102V1-x2V1+x→lim44V-x2→1(x→0)可求出注：采用(1+u）的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当u→>0时【详解3】(++)=+u+(-+(r),2!所以x→0时VI+x=1+x+(10/x22Vl-x=1--x+(-3x2 +0(x)P
1998 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 一、填空题 （1） 2 0 1 12 limx x x → x ++ −− = . 【答】 1 4 − . 【详解 1】 用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换， ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 0 2 2 0 11 4 lim 1 12 21 1 lim 4 1 1 2 lim . 2 4 x x x x x xxx x x x x → → → ++ − − = ++ −+ − − = − = =− 原式 因 2 2 1 1 1~ 2 −− − x x 【详解 2】 采用洛必达法则， 0 0 2 0 0 1 1 21 21 1 1 lim lim 2 4 1 1 1 lim 4 1 1 21 21 1 lim . 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → − + − − − + ⎯⎯→ = − −− + = − − ⎯⎯→ =− − + 0 0 0 0 原式 注： ( ) 2 1 10 −→ → x x 可求出 【详解 3】 采用( ) 1 u λ + 的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当u → 0 时 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 11 , 2! u u u ou λ λ λ λ − + =+ + + 所以 x → 0 时 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 11 , 2 8 1 1 11 , 2 8 x x x ox x x x ox ⎛ ⎞ + =+ +− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − =− +− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
于是+o(x2)-21+XY8281原式=limx2x→00(x2)=lim4（2）曲线y=-x3+x2+2x与x轴所围成的图形的面积A37【答】12)=-gx(1)=2【详解】因为】所以A= J°-(-x* +x* +2x)dx+J (-x +x*+2x)dx(F--n)+(-+++)-3712In sinxdx(3)sinx【答】-cotx·lnsinx-cotx-x+C.【详解】用分部积分法，有[Insindx = - in sin xd(cot x) = -cot x nsin + J cot' xdxsinx= -cot x- Insin x+ [(csc’ x-1) xdx=-cotx·Insinx-cotx-X+C(4) /()进续,四会(x-r)4=x(x)【答】【详解】令u=x?-2,dy=-2tdt,当t=0时，u=x2当t=x时，u=0；(-(m=(r)故(5)曲线y=xlne+=(x>0)的渐进线方程为
于是 ( ) ( ) 2 22 2 0 2 2 0 11 11 11 2 28 28 lim 1 lim 4 1 4 x x x x x x ox x o x x → → + − +− − + − ⎛ ⎞ = −+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − 原式= （2）曲线 3 2 y xx x =− + + 2 与 x 轴所围成的图形的面积 A = . 【答】 37 12 . 【详解】 因为 ( ) 1 5 , 1 2, 2 8 y y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − =− = ⎝ ⎠ 所以 ( ) ( ) 0 2 32 32 1 0 43 43 0 2 2 2 1 0 2 2 43 43 37 12 | | A x x x dx x x x dx xx xx x x − − = −− + + + − + + ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − − +− + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ∫ ∫ （3） 2 ln sin sin x dx x = ∫ . 【答】 − ⋅ − −+ cot ln sin cot . x x xxC 【详解】 用分部积分法，有 ( ) ( ) 2 2 2 ln sin ln sin cot cot ln sin cot sin cot ln sin csc 1 cot ln sin cot x dx xd x x x xdx x x x x xdx x x xXC =− =− ⋅ + =− ⋅ + − =− ⋅ − − + ∫∫ ∫ ∫ （4）设 f ( ) x 连续，则 ( ) 2 2 0 d x tf x t dt dx − = ∫ . 【答】 ( ) 2 xf x . 【详解】 令 2 2 u x t dy tdt = − =− , 2, 当t = 0时， 2 u x = ; 当t x = 时，u = 0 ； 故 ( ) ( ) ( ) 2 22 2 0 0 1 2 d d x x tf x t dt f u du xf x dx dx −= = ∫ ∫ （5）曲线 ( ) 1 yx e x ln 0 x ⎛ ⎞ = +> ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 的渐进线方程为
【答】y=x+-e【详解】xlne+1α= limlim ln e+=1-xx→+ox→+oxb= lim (y-ax)= lim x In|e+X1Ine+11x= lim= lim-11X→+ex→e+xx1故此曲线的渐进线方程为y=x+-e二、选择题设数列x,与y,满足limx,J，=0,则下列断言正确的是n(A)若x发散，则y必发散(B)若x无界，则y必有界(C)若x,有界，则y，必有无穷小1(D)若二为无穷小，则必为无穷小Xn[【答】应选(D)【详解】方法一：由极限运算性质知1limy,=lim(x.y,)-lim-=0→0n→on-X,所以（D）为正确选项方法二：取数列y,=0，排除（A)若取数列
【答】 1 y x e = + 【详解】 ( ) 1 ln 1 lim lim ln 1, 1 lim lim ln 1 1 ln 1 1 1 lim lim 1 1 x x x x x x x e x a e x x b y ax x e x e x e e x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = += ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ = − = +− ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠ = == + 故此曲线的渐进线方程为 1 y x e = + . 二、选择题 设数列 n x 与 n y 满足 lim 0, n n n x y →∞ = 则下列断言正确的是 （A） 若 n x 发散，则 n y 必发散. （B） 若 n x 无界，则 n y 必有界. （C） 若 n x 有界，则 n y 必有无穷小. （D） 若 1 n x 为无穷小，则 n y 必为无穷小. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 方法一： 由极限运算性质知 ( ) 1 lim lim lim 0, n nn nn n n y xy →∞ →∞ →∞ x = ⋅= 所以（D）为正确选项. 方法二： 取数列 0 n y = ，排除（A） 若取数列
[2k-1,n=2k -(k =1,2,...)0,n=2k[0,n= 2k-1), [2,=-2 (k=12.)便排除了（B）对于（C)，若数列x，=0，则y,可为任意数列，所以（C）项也不正确故应选（D)(2）函数(x)=(x2-x-2)x3-x不可导点的个数是(A) 3.(B) 1.(C) 2.(D) 0.[【答】应选（C）【详解】因为(x)=(x2 -x-2)x3 -x=(x-2)(x+1)x(x-1)(x+1)可见f(x)在x=0,1处不可导，而在x=-1处是可导的，故f(x)的不可导点的个数为2.aX（3）已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay=+α，且当x→0时，α是x的高1+x阶无穷小，y(O)=元，则y(1)等于(c) e.(A) rei(B)元.(D)2元【答】应选（A）yaX【详解】由Ay=+α,，有1+x2VaAY.1+x2AXAXy令x→0，得=1+x2解此微分方程并利用初始条件由y(0)=元,得y=元erctnxAy(l)= neartan = ne*故（4）设函数f(x)在x=α的某个邻域内连续，且f(a)为其几大值，则存在>0，当xe(a-o,a+)时，必有(A) (x-a)[f(x)-f(a)]≥0
( ) ( ) 2 1, 2 1 1, 2, 0, 2 0, 2 1 1, 2, 2, 2 n n k nk x k n k n k y k kn k ⎧ − =− = = ⎨ ⎩ = ⎧ = − = = ⎨ ⎩ = " " 便排除了（B） 对于（C），若数列 0 n x = ，则 n y 可为任意数列，所以（C）项也不正确. 故应选（D）. （2）函数 ( ) ( ) 2 3 f x xx xx = −− − 2 不可导点的个数是 （A）3. （B）1. （C）2. （D）0. 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 因为 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 f x x x x x x x xx x = −− − = − + − + 2 2 1 1 1, 可见 f ( ) x 在 x = 0,1处不可导，而在 x = −1处是可导的， 故 f ( ) x 的不可导点的个数为 2. （3）已知函数 y yx = ( )在任意点 x 处的增量 2 , 1 y x y x = +α + + + 且当+x → 0 时，α 是+x 的高 阶无穷小， y ( ) 0 = π ，则 y ( ) 1 等于 （A） 4 e π π . （B）π . （C） 4 e π . （D） 2π 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由 2 , 1 y x y x = +α + + + ，有 2 . 1 y y x x x α = + + + + + 令+x → 0 ，得 ' 2 1 y y x = + ， 解此微分方程并利用初始条件由 y ( ) 0 , = π 得 arctan x y e = π 故 ( ) arctan 4 1 . x ye e π = = π π （4）设函数 f ( ) x 在 x = a 的某个邻域内连续，且 f (a) 为其几大值，则存在 δ > 0 ，当 xa a ∈− + ( ) δ , δ 时，必有 （A）( ) () () x a fx fa − −≥ ⎡ ⎤ 0. ⎣ ⎦
(B) (x-a)[f(x)-f(a)]≤0(C) lm0-()≥0(*a)f-→0(t-x)210)-()≤0(x#a)(D) lim1->0(t-x)2【答】应选(C)【详解】由题设，存在邻域（a-,a+)，使当xea-8,a+o)时，有f(x)≤f(a) f(x)≤f(a),所以当a-<x<a时,(x-a)[(x)-f(a)]≥0当a<x<a+8时,(x-a)[f(x)-f(a)<0因此（A）、（B）不成立考虑到（C)、（D）两项中分母均大于零，而分子部分有limf(0)-f(x)=f(a)-f(x)≥0,所以必有（C）成立（5）设A是任一n(n≥3)阶方阵，A是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0,±l，则必有(kA')=(A) kA"(B) k"-IA(C) k"A"(D) k-"A[【答】应选（B）【详解】方法一：采用加条件的技巧，设A可逆，则由AA=AA-|AEA =|A|A-I知于是(k4)=kA-(kA)"= "|4A= k"- |4|4-1= k"-I A*
（B）( ) () () x a fx fa − −≤ ⎡ ⎤ 0. ⎣ ⎦ （C） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 lim 0 t a ft fx x a t x → − ≥ ≠ − （D） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 lim 0 t a ft fx x a t x → − ≤ ≠ − 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 由题设，存在邻域 (a a −δ , +δ ) ，使当 xa a ∈( − + δ , δ ) 时，有 f () () x fa ≤ f () () x fa ≤ ， 所以 当 a xa −<< δ 时，( x a fx fa − −≥ ) () ⎡ ⎤ ( ) 0. ⎣ ⎦ 当 axa <<+δ 时，( x a fx fa − −≤ ) () ⎡ ⎤ ( ) 0. ⎣ ⎦ 因此（A）、（B）不成立. 考虑到（C）、（D）两项中分母均大于零，而分子部分有 lim 0, () ( ) ( ) ( ) t a ft fx fa fx → ⎡ ⎤ − =−≥ ⎣ ⎦ 所以必有（C）成立. （5）设 A 是任一 n n( ) ≥ 3 阶方阵， * A 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k ≠ ± 0, 1，则必有 ( ) * kA = . （A） * kA （B） n 1 * k A− （C） n * k A （D） 1 * k A− 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 方法一： 采用加条件的技巧，设 A 可逆，则由 * * AA AA AE = = 知 * 1 A A A− = 于是 ( ) ( ) 1 * 1 1 1 1 * 1 n n n kA kA kA k A A k k AA k A − − − − − =⋅ = ⋅ = ⋅ =