2001年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题（1）设生产函数为Q=ALK，其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量而A,α,β均为大于零的参数,则当O=1时K关于L的弹性为-0【答】B【详解】当Q=1时，有K=ALB于是K关于L的弹性为aαABLBβK(L)aS=LL.βK(L)ATL%(2) 设≥=e"-(x-2),且当y=0时,==x,则%ax【答】2(x-2y)-e*+e2y-x【详解】由题设y=0时，z=x2,知x2=e-f(x)即f(x)=e--x于是z=e-f(x-2y)=e-*-e-(-2n) +(x-2y)2Oz故=-e** +e-(x-2) + 2(x-2y)ax= 2(x-2y)-e-* +e2y-r130A02222(3)设行列式D：则第四行各元素余子式之和的值为-70o53-22【答】-28【详解 1]用M4,(j=1,2,3,4)表示第四行各元素的余子式,则040[3 4 022M4=2=-56,M42=2222=0-700000
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析 一、填空题 （1）设生产函数为Q AL K , α β = 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量, 而 A, , α β 均为大于零的参数,则当Q =1时 K 关于 L 的弹性为 . 【答】 α β − 【详解】 当Q =1时,有 , l K AL α β β − − = 于是 K 关于 L 的弹性为 1 1 1 '( ) . ( ) A L K L L L K L A L α β β α β β α β α ξ β − −− − − − = = =− i （2）设 ( 2) x z e fx y − =− − ,且当 y = 0时, 2 z x = , 则 z x ∂ = ∂ . 【答】 2 2( 2 ) x yx x ye e − − − −+ 【详解】 由题设 y = 0时, 2 z x = ,知 2 ( ) x x e fx − = − 即 2 ( ) x f xe x − = − 于是 ( 2) 2 ( 2) ( 2) x x xy z e fx y e e x y − − −− = − − = − +− 故 ( 2) 2( 2 ) z x xy e e xy x ∂ − −− =− + + − ∂ 2 2( 2 ) x yx x ye e − − = − −+ (3)设行列式 30 40 22 22 , 0 700 5 3 22 = − − D 则第四行各元素余子式之和的值为 . 【答】 -28 【详解 1】 用 4 ( 1,2,3,4) j M j = 表示第四行各元素的余子式,则 41 42 0 40 340 2 2 2 56, 2 2 2 0, 700 000 = =− = = − M M
3003042222=42,M44=22|=14M43 = 20-7 000-70故M41+M42+M43+M44=-28.【详解2】用A,(j=1,2,3,4)表示第四行各元素的代数余子式，由于A4,=(-1)*i M4j,于是有M41 + M42 + M43 + M44= - A41 + A42 - A43 + A4430402222-280-70(-111 1k111k1（4）设矩阵A且秩(A)=3,则k=k1-111全【答】-3【详解】由题设r(A)=3,知必有[k111]1k1=(k+3)(k-1) = 0,1k1[111k]解得k=1或k=-3.显然k=1时r(A)=1,不符合题意，因此一定有k=-3（5）设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式PX-Y≥6≤1【答】12【详解】另Z=X-Y,则E(Z)= E(X)-E(Y)=0
43 44 300 304 2 2 2 42, 2 2 2 14 0 70 0 70 = = = =− − − M M 故 41 42 43 44 MMMM + + + =−28. 【 详 解 2 】 用 ( 1,2,3,4) ij A j = 表示第四行各元素的代数余子式 , 由 于 4 4 4 ( 1) , j j j + A M = − 于是有 MM MM AAAA 41 42 43 44 41 42 43 44 + + + =− + − + 3 0 40 2 2 22 28. 0 700 1 1 11 = = − − − − （4）设矩阵 111 1 11 , 11 1 111 k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 且秩( ) 3, A = 则 k = . 【答】 -3 【详解】 由题设 r( ) 3, A = 知必有 3 111 1 11 ( 3)( 1) 0, 11 1 111 k k k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =+ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 解得 k =1或 k = −3.显然 k =1时 r A( ) 1, = 不符合题意,因此一定有 k = −3. （5）设随机变量 X,Y 的数学期望都是 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为 0.5.则根据切 比雪夫不等式 PX Y { − ≥ ≤ 6} . 【答】 1 12 【详解】 另 Z = − X Y,则 EZ E X EY ( ) ( ) ( ) 0, = −=
D(Z)= D(X -Y)= D(X)+ D(Y)- 2Cov(X,Y)=1+4-2.0.5.D(X)JD(Y) =3,于是有P(X-Y)≥6)=P(Z-E(2)≥6)≤D)=6212二、选择题f'(x)=-1,则（1）设函数f(x）的导数在x=a处连续，又limX.C(A）x=a是f(x)的极小值点(B)x=α是f(x)的极大值点(C)(a,f(a)是曲线y=f(x)的拐点(D）x=a不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点【答】[B]由lim “)=-1,知lim (x)=0,即 F(a)=0,于是有【详解】1X-0f(x)-f(a) = limf'(x)f"(a)=lim--1x-a→ax-0即f(a)=0,f"(a)=-1,故x=a是f(x)的极大值点，因此,正确选项为(B)(x+1),0≤x≤12(2)设函数g(x)=J(u)du,其中f(x)=,则g(x)在区间x-1),1≤x≤2(0,2)内(A)无界（B）递减(D)连续(C）不连续【答】 [D]【详解】当0≤x<1时，有-x+(x2 + 1)dx =g(x)26当1≤x≤2时，有
D Z D X Y D X D Y Cov X Y () ( ) ( ) () 2 ( ,) = −= + − =+ − = 1 4 2 0.5 ( ) ( ) 3, i i D X DY 于是有 { } { } 2 () 1 6 () 6 . 6 12 D Z P X Y P Z EZ −≥ = − ≥ ≤ = 二、选择题 （1）设函数 f ( ) x 的导数在 x = a 处连续,又 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 则 (A) x = a 是 f ( ) x 的极小值点. (B) x = a 是 f ( ) x 的极大值点. (C) ( , ( )) afa 是曲线 y fx = ( ) 的拐点. (D) x = a 不是 f ( ) x 的极值点, ( , ( )) afa 也不是曲线 y fx = ( ) 的拐点. 【答】 [ B] 【详解】 由 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 知lim '( ) 0, x a f x → = 即 f a'( ) 0 = ,于是有 '( ) '( ) '( ) "( ) lim lim 1, xa xa fx fa fx f a → → xa xa − = = =− − − 即 f a'( ) 0 = , f a "( ) 1 = − ,故 x = a 是 f ( ) x 的极大值点, 因此,正确选项为(B). （2）设函数 0 () () , x g x f u du = ∫ 其中 1 2 ( 1),0 1 2 () , 1 ( 1),1 2 3 x x f x x x ⎧ + ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ − ≤≤ ⎪⎩ 则 g x( ) 在区间 (0,2) 内 (A)无界 （B）递减 (C) 不连续 (D) 连续 【答】 [D] 【详解】 当0 1 ≤ x < 时,有 2 3 0 1 11 ( ) ( 1) , 2 62 x g x x dx x x = +=+ ∫ 当1 2 ≤ ≤x 时,有
2(x-1)2,g(x)1)dx36110≤x<1-x,62即g(x)=2-(x-1),1≤x≤2[36显然g(x）在区间(0,2)内连续，所以,应选(D)[aiai4[ai40a12ai3ai3a1200aun0010a21a22a24a24a23a22a21a238P（3）设A：0001agiag2aas4aya3ag2as11000La4ia4ta42a43aa44a43aa201000001其中A可逆,则B-等于P, =0100Lo001(C)PP,A-I(A)A-"PP(B) PA-'P,(D) P,A'P.【答】[C]（4）对于任意二事件A和B,与AUB=B不等价的是BcA.AB=O.Ac B.AB =O.(A)(B)(C)(D)【答】[D]因为AUB=BACBBCAAB=O【详解】所以正确选项为(D)（5）将一枚硬币重复掷n次以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数.则X和Y的相关系数等于10(C)(D)1(A)-1(B)2【答】[A]【详解】设X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y=n-X,因此X和Y的相关系数为r=-1三、（本题满分8分）
1 2 2 0 1 1 1 21 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) , 2 3 36 x g x x dx x dx x = + + − =+ − ∫ ∫ 即 3 2 1 1 ,0 1 6 2 ( ) 2 1 ( 1) , 1 2 3 6 x x x g x x x ⎧ + ≤< ⎪⎪ = ⎨ ⎪ + − ≤≤ ⎪⎩ 显然 g x( ) 在区间(0,2) 内连续, 所以,应选(D). （3）设 11 12 13 14 14 13 12 11 21 22 23 24 24 23 22 21 1 31 32 33 34 34 33 32 31 41 42 43 44 44 43 42 41 0001 0100 , , 0010 1000 aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ABP 2 1000 0010 , 0100 0001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P 其中 A 可逆,则 −1 B 等于 (A) 1 1 2 − A P P （B） 1 1 2 − PA P (C) 1 1 2 − PP A (D) 1 2 1. − PA P 【答】 [C ] （4）对于任意二事件 A 和 B ,与 A∪ = B B 不等价的是 (A) A ⊂ B. (B) B ⊂ A. (C) AB = ∅. (D) AB = ∅. 【答】 [ D ] 【详解】 因为 A B B A B B A AB ∪ = ⇔ ⊂ ⇔ ⊂ ⇔ =∅. 所以正确选项为(D) （5）将一枚硬币重复掷 n 次,以 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和Y 的相关系数等于 (A) -1 (B) 0 (C) 1 2 (D) 1 【答】 [A ] 【详解】设 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y nX = − ,因此 X和Y 的 相关系数为 r = −1. 三 、（本题满分 8 分）
设u=f(x,y,=)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两edux-=sintdi,求式确定：e-xy=2和e=Jotdx【详解】根据复合函数求导公式，有duoffdyafdz(*)dxoxaydxozdxew- xy=2由两边对x求导，得dy(y+d)e(y+x)=0dxdx即dxxx-= sint由e=dt,两边对x求导,得Jodzsin(x-z)a-er-dxX-zdze'(x-z)=1-即dxsin(x-2)将其代入(*)式,得-%-%+(1-9(x-)%dxaxx aysin(x-z)Oz四、（本题满分8分）已知f(x）在（一00,+o0）内可导，且lim f(x)=e, lim(+) = lim[f(x)- (x-1),+0Dx-求c的值2c2cxlim(*+) = lim[(++=p20)Jr-c【详解】因为x-Cx-→x-c又由拉格朗日中值定理有f(x)-f(x-1)= f'()1,于是介于x-1与x之间，于是lim[f(x)-f(x-1)]=limf()=e-
设 u f xyz = (, ,) 有连续的一阶偏导数,又函数 y yx = ( ) 及 z zx = ( ) 分别由下列两 式确定: 2 xy e xy − = 和 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 求 du dx 【详解】 根据复合函数求导公式,有 . du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ =+ + ∂∂ ∂ i i (*) 由 2 xy e xy − = 两边对 x 求导,得 ( ) ( ) 0, xy dy dy e yx yx dx dx + −+ = 即 . dy y dx x = − 由 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 两边对 x 求导,得 sin( ) (1 ), x x z dz e x z dx − = − − i 即 ( ) 1 . sin( ) x dz e x z dx x z − = − − 将其代入(*)式,得 ( ) (1 ) . sin( ) x du f y f e x z f dx x x y x z z ∂ ∂ −∂ = − +− ∂ ∂ −∂ 四 、（本题满分 8 分） 已知 f ( ) x 在(,) −∞ +∞ 内可导,且 lim '( ) ,lim( ) lim[ ( ) ( 1)], x xxx x c f x e fx fx →∞ →∞ →∞ x c + = = −− − 求c 的值. 【详解】 因为 2 2 2 2 . lim( ) lim[(1 )] x c cx c x c x c x x xc c e xc xc − − →∞ →∞ + =+ = − − 又由拉格朗日中值定理,有 fx fx f ( ) ( 1) '( ) 1, − −= ξ i 于是ξ 介于 x −1与 x 之间,于是 lim[ ( ) ( 1)] lim '( ) x x f x fx f e ξ →∞ →∞ − −= =