1997年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题（1）设y=(lnx)e()其中于可微，则dy=e'[1(Inx)+F(x) (Inx) dx【答】【详解】dy = d[ (ln x)e()=[af (In x)]-e/() + f (In x) de (t)['(Inx)ax-e) + (Inx)e() (1)dx[r(nx)aler) + (In x)e0- ()at(2) 若()=+V1-(),则()=A【答】4-元【详解】设f,(x)dx= A,则A-s()-I+4-M-rdA儿元(arcsin x+ x/1-=arctanx0P元故A=4-元（3）差分方程y1-y,=t2'的通解为y,=【答】C+(t-2)2'【详解】齐次差分方程y+-y,=O的通解为C.C为任意常数设(at+b)2"是差分方程yt+-y,=t2"的一个特解，则a=1,b=-2.因此y,=C+(t-2)2'为所求通解
1997 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 ( ) ( ) ln f x y f xe = 其中 f 可微，则 dy = _. 【答】 ( ) ( ) () ( ) 1 ln ln f x e f x f x f x dx x ⎡ ⎤ ′ ′ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ln fx fx fx dy d f x e df x e f x de = = ⋅+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln ln fx fx f x dx e f x e f x dx x ⎡ ⎤ = ⋅+ ⋅ ′ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln ln fx fx f x dx e f x e f x dx x ⎡ ⎤ = ⋅+ ⋅ ′ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （2） 若 ( ) ( ) 1 2 2 0 1 1 , 1 f x x f x dx x = +− + ∫ 则 ( ) 1 0 f x dx = ∫ _. 【答】 4 π −π 【详解】 设 ( ) 1 0 f x dx A = , ∫ 则 ( ) 11 1 2 2 00 0 1 1 dx A f x dx A x dx x = = +⋅ − + ∫∫∫ ( ) 2 1 1 arctan arcsin 1 0 0 2 44 A x xx x A π π = +⋅ + − =+ 故 . 4 A π π = − （3） 差分方程 1 2t t t y yt + − = 的通解为 t y = _. 【答】 ( ) 2 2t C t + − 【详解】 齐次差分方程 1 0 t t y y + − = 的通解为C C. 为任意常数 设( ) 2t at b + 是差分方程 1 2t t t y yt + − = 的一个特解，则 a b =1, 2. = − 因此 ( ) 2 2t t yCt =+− 为所求通解
（4）若二次型（,x2,）=2x+++2xx+x是正定的，则1的取值范围是-<1<>2【答】【详解】厂正定的充分必要条件是对应矩阵的各阶顺序主子式大于零，因此21011>0,2t102解得-V2<1<V2（5）设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(o,3"），而X,…,X，和Y,…YX.+X服从分别式来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量U=y? +.+Y?分布，参数为【答】t,9令x-4--12...9【详解】3”3则 X,~N(0,1),Y'~N(0,1),i=1,2, .-,9X'= X+...+X, ~ N(o,33),Y'= Y'+..+Y,~x?(9)因此XXX'+...+X'X+...+X.3U=区Y'Yyi? +..+y?/y2 +...+Y?V由于~ N(0,1),Y'~ x(9)3故U~t(9)二、选择题
（4） 若二次型 ( ) 222 1 2 3 1 2 3 12 23 f x x x x x x x x tx x , 2 2 = +++ + 是正定的，则t 的取值范围 是_. 【答】 − << 2 2 t 【详解】 f 正定的充分必要条件是 f 对应矩阵的各阶顺序主子式大于零，因此 210 1 1 0, 2 0 1 2 t t > 解得 − << 2 2 t （5）设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分布 ( ) 2 N 0,3 ，而 1 9 X , , " X 和 1 9 Y Y , , " 分别式来自总体 X 和Y 的简单随机样本，则统计量 1 9 2 2 1 9 X X U Y Y + + = + + " " 服从_ 分布，参数为_. 【答】 t,9 【详解】 令 , , 1,2, ,9 3 3 i i i i X Y X Yi ′ ′ = == " 则 X N YN i i i ′ ′ ~ 0,1 , ~ 0,1 , 1, 2, ,9 () () = " ( ) 2 XX XN ′′ ′ = ++ 1 9 " ~ 0,3 , ( ) 2 YY Y ′′ ′ =++ Χ 1 9 " ~ 9 因此 1 91 9 2 22 2 1 91 9 3 9 X X XX X X U Y YY Y Y Y ′ ++ ++ ′ ′ ′ = = ==′ ′ ++ ++ ′ ′ " " " " 由于 ( ) () 2 ~ 0,1 , ~ 9 3 X N Y ′ ′ Χ 故U t ~ 9( ). 二、选择题
x5x6"sint?dt,g(x)=(1) 设f(x)=,则当x→0时，f(x)是g(x)的56(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等阶无穷小(D)同阶但不等价的无穷小【答】应选(B)【详解】利用洛必达法则，有f(x)sin x·sin(1-cos)sin(1-cos)limlimlim>0x+xsx+xx-=0 g(x)x4(1- cos)24= lim-lim=03 +x4x0 x3 +x4(2) 若f(-x)=f(x)(-00<x<+o0),在(-00,0)内f(x)>0,且 F"(x)<0,则在(0,+)内有(A)f'(x)>0, "(x)<0(B)F'(x)>0, f"(x)>0(C)f'(x)<0, f"(x)>0(D)F'(g)<0, f"(x)>0[【答】应选(C)【详解】由f(-x)=f(x),得-f'(x)= f'(x), f"(-x)= f'(x)可见当xE(0,+o0)时，-xE(-00,0)，且f'(x)=-f'(-x)<0, f"(x)= f'(-x)<0所以应选(C)(2)设向量α，α,，α、线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A)a, +α2,a, +αs,a -αi(B)a, +a,,α, +αs,a +2α, +α;(C)α, +2α2,2α, +3α,3α, +α
（1） 设 () () 5 6 1 cos 2 0 sin , , 5 6 x x x f x t dt g x − = =+ ∫ 则当 x → 0 时， f ( x) 是 g x( ) 的 ( ) A 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 ( ) C 等阶无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小 【 】 【答】 应选(B) 【详解】 利用洛必达法则，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 45 34 00 0 sin sin 1 cos sin 1 cos lim lim lim xx x fx x →→ → gx x x x x ⋅− − = = + + ( ) 4 2 34 34 0 0 1 cos 4 lim lim 0. x x x → → xx xx − = == + + （2） 若 f x fx x ( ) ( )( ) − = −∞ < < +∞ ，在 (−∞,0) 内 f x ′( ) > 0, 且 f x ′′( ) < 0, 则在 ( ) 0,+∞ 内有 ( ) () () Af x f x Bf x f x ′ ′′ ′ ′′ >< >> 0, 0 0, 0 ( ) ( ) ( ) ( ) () () Cf x f x Df x f x ′ ′′ ′ ′′ < 0, 0 0, 0 > <> ( ) ( ) ( ) 【 】 【答】 应选(C) 【详解】 由 f (− = x fx ) (),得 − = −= f ′ ′ ′′ ′ ( ) x fxf x fx ( ), ( ) ( ) 可见当 x∈ +∞ ( ) 0, 时， − ∈ −∞ x ( ) ,0 ，且 fx f x f x f x ′ ′ ′′ ′ () ( ) =− − < = − < 0, 0 ( ) ( ) 所以应选( ) C . （2） 设向量 123 α , , α α 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( ) 1 22 33 1 A α ++− αα αα α , , ( ) 1 2 2 31 2 3 B α + + ++ αα αα α α , ,2 ( ) 1 2 2 331 C α + ++ 2 ,2 3 ,3 αα ααα
(D)α,+α,+,2α,-3α,+22α,3α,+5αz-5α[【答】应选(C)【详解】(A): (α, +α,)-(α, +α,)+(α, -α)=0(B):(α, +α,)-(α, +α,)-(α, +2α, +α,)=0可见(A)(B)中向量组线性相关，(C)(D)不能直接观察出，对于(C)，令k,(α, +2α,)+k,(2α, +3α,)+k,(3α,+α,)=0即(k, +k,)α +(2k +2k,)α, +(3k, +3k,)α, =0由于α,αz,α,线性无关，故[k, +k, =02k, +2k, =03k,+3k,=01012因上述齐次线性方程组的系数行列式20=12≠0，故方程组由惟一零解，即033k,=kz=k,=0，故(C)中向量组线性无关，应选(C)（4）设A,B为同阶可逆矩阵，则(A)AB= BA(B)存在可逆矩阵P，使P-"AP=B(C)存在可逆矩阵C，使CTAC=B(D)存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B[]【答】应选(D),【详解】由题设A,B可逆，若取P=B,O=A-,则PAQ=BAA-=B,即A与B等价，可见(D).成立
( ) 1 2 31 2 31 2 3 D α ++ − + + α α α α α α α− α ,2 3 22 ,3 5 5 【 】 【答】 应选(C) 【详解】 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 12 2 3 31 12 23 1 23 : 0 : 20 A B +−++−= + −+ + += αα αα αα α α α α −α α α 可见( )( ) A B 、 中向量组线性相关，(C D )、( )不能直接观察出，对于(C) ，令 kk k 11 2 2 2 3 3 3 1 ( )( ) α α α α αα + + + + += 2 23 3 0 ( ) 即 ( ) kk k k k k 1 31 1 2 2 2 33 + ++ ++ = ααα (22 33 0 ) ( ) 由于 123 α , , α α 线性无关，故 1 3 1 2 2 3 0 22 0 330 k k k k k k ⎧ + = ⎪ ⎨ + = ⎪ + = ⎩ 因上述齐次线性方程组的系数行列式 101 2 2 0 12 0, 033 = ≠ ，故方程组由惟一零解，即 123 kkk === 0 ，故( ) C 中向量组线性无关，应选(C). （4） 设 A,B 为同阶可逆矩阵，则 ( ) A AB = BA ( ) B 存在可逆矩阵 P ，使 −1 P AP = B ( ) C 存在可逆矩阵C ，使 T C AC = B ( ) D 存在可逆矩阵 P 和Q ，使 PAQ = B 【 】 【答】 应选(D). 【详解】 由题设 A,B 可逆，若取 1 , , − P =BQ=A 则 1 , − PAQ = BAA B= 即 A 与 B 等 价，可见( ) D .成立
矩阵乘法不满足交换律，故（A）不成立；任意两个同阶可逆矩阵，不一定是相似的或合同的，因此(B)(C)均不成立（5）设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P(X=-1)=P(Y=-1)=P(X =1)= P(Y =1)=则下列各式中成立的是2(B)P(X =Y)=1(A)P(X=Y) =2(D)P(XY =1)=(C)P(X+Y =0)=[【答】应选(A)【详解】PX =Y)= P(X =1,Y =1)+P(X =-1,Y=-1)111112*2+2*22而P(X+Y =0)=-,P(XY =1) =三、在经济学中，称函数Q(x)=A[sK+(1-)L*-为固定替代弹性生产函数，而称函数Q=AKLl-为Cobb-Douglas生产函数（简称C-D生产函数）试证明：当x→0时，固定替代弹性生产函数变为C-D同阶生产函数，即有lim0(x)=0【详解】 In(x)=In A--in[8K*+(1-)*而且In[8-*+(1-8)]-8KIn K -(1-)LIn LlimInlimx→08K-*+(1-8)L*Tx=-8ln K -(1-)In L=-In(AK°L-)所以lim Ing(x)= In A+In(K° L)= In(AK°L-)于是lim(x)= AK°- =
矩阵乘法不满足交换律，故( ) A 不成立；任意两个同阶可逆矩阵，不一定是相似的或合 同的，因此( ) B 、(C) 均不成立. （5） 设两个随机变量 X 与Y 相互独立且同分布： { }{ } 1 1 1, 2 P X PY = − = =− = { }{ } 1 1 1, 2 P X PY == == 则下列各式中成立的是 (){ } (){ } 1 1 2 APX Y BPX Y == == (){ } (){ } 1 1 0 1 4 4 C P X Y D P XY += = = = 【 】 【答】 应选( ) A . 【详解】 PX Y PX Y PX Y { = } = = = + =− =− { 1, 1 1, 1 } { } 1111 1 , 2222 2 =×+×= 而 { } { } 1 1 0, 1. 2 4 P X Y P XY += = = = 三、在经济学中，称函数 () ( ) 1 1 x x Qx A K L x δ δ − − − = +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 为固定替代弹性生产函数，而称函 数 1 x Q AK Lδ δ − = 为 Cobb－Douglas 生产函数（简称 C-D 生产函数） 试证明：当 x → 0 时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 同阶生产函数，即有 ( ) 0 limx Qx Q → = 【详解】 ( ) ( ) 1 ln ln ln 1 x x Qx A K L x δ δ − − = − +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 而且 ( ) ( ) ( ) 0 0 ln 1 ln 1 ln lim ln lim 1 x x x x x x x x K L K K LL x KL δ δ δ δ δ δ − − − − → → − − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + − − −− = + − ( ) ( ) 1 ln 1 ln ln K L AK Lδ δ δ δ − =− − − =− 所以 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 lim ln ln ln ln x Q x A K L AK L δ − − δ δδ → =+ = 于是 ( ) 1 0 lim . x Q x AK L Q δ δ− → = =