全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1999数学三

1999年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析填空题sinx(1)设厂(x)有一个原函数则xf"(x)dx =24【答】元sinx【详解】由题设f(x)有一个原函数则xxcosx-sinxsin.f(x)x2从而[x (g) dx= [xdf (x)= x () 元一["f (x)dx22元7sinxsinxcos.x元元xxA22(2)【答】4【详解】考虑幂级数-S(x)=nx"-l,1-1<x<1i=lX因为 ["s(x)dx=Z[nx"-ldx=x"dx =1-xiei=l所以 S(x)=() (---<×<1.故()-s()-4

1999 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1） 设 f ( ) x 有一个原函数 sin , x x 则 ( ) 2 xf x dx π π ′ = ∫ _. 【答】 4 1 π − 【详解】 由题设 f ( x) 有一个原函数 sin , x x 则 ( ) 2 sin cos sin , x xx x f x x x ′ ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 从而 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 xf x dx xdf x xf x f x dx ππ π ππ π π ∫∫ ∫ ′ = =− π sin sin 4 cos 1. 2 2 x x x x x π π π π π ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − − =− ⎝ ⎠ （2） 1 1 1 2 n i n − ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∑ _. 【答】 4 【详解】 考虑幂级数 ( ) 1 1 , 1 1, n i S x nx x ∞ − = = ∑ −< < 因为 ( ) 1 0 0 1 1 , 1 x x n n i i x S x dx nx dx x dx x ∞ ∞ − = = = == − ∫ ∫ ∑ ∑ 所以 ( ) ( )2 1 , 1 1, 1 1 x Sx x x x ′ ⎛ ⎞ = = −< < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − 故 1 1 1 1 4. 2 2 n i n S − ∞ = ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = = ⎝⎠ ⎝⎠ ∑

101020(3)设A=，而n≥2为整数，则A"-2A"=l：0(11【答】0【详解】因为10(202)01120042=02400=2A(101)0021.12.1故有A"-2A"-l=A"-2(A?-2A)=O（4）在天平上重复称量一重维α的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布，N(0,0.2°)，若以x，表示n称量结果的算术平均值，则为使P(X，-α<0.1)≥0.95,n的最小值应不小于自然数=【答】160.2Zx,~N[a,【详解】由于×=n=于是x,-a0.2：0.21Tn又因为P(u<1.96)≥0.95,n故要求P1≥0.950.22Jn≥0.975.即ΦVn于是令≥1.96.解得n=162(5）设随机变量X（i,j=1,2,,n,n≥2)独立同分布，E(X）=2,则行列式[X X.. X.X2Xn...X2nY=的数学期望E(Y)=:.:[XX.Xm]

(3) 设 101 020 101 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A ，而n ≥ 2 为整数,则 1 2 n n− A − A = . 【答】 O 【详解】 因为 2 101 101 202 0 2 0 0 2 0 0 4 0 2. 101 101 202 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = == ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A i A 故有 1 22 2 ( 2) . nn n O − − A A AA A − = −= （4） 在天平上重复称量一重维 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布， ( ) 2 N 0,0.2 ，若以 Xn 表示 n 称量结果的算术平均值，则为使 PX a n { n −< ≥ 0.1 0.95, } 的 最小值应不小于自然数=_. 【答】 16 【详解】 由于 2 1 1 0.2 ~, , n n i i X X Na n n = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 于是 2 0.2 ~ 0, . 0.2 X a n u N n n − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 又因为 P u{ < ≥ 1.96 0.95, } 故要求 { } 0.1 2 1 0.95, 0.2 2 2 n n X a n n PX a P n ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ⎛ ⎞ − < = < =Φ −≥ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 即 0.975. 2 ⎛ ⎞ n Φ ≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 于是令 1.96, 2 n ≥ 解得 n =16. （5） 设随机变量 ( ) , 1, 2, , ; 2 X i j nn ij = ≥ " 独立同分布， ( ) 2, E Xij = 则行列式 11 12 1 21 22 2 1 1 n n n n nn XX X XX X Y XX X ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ " " ## # " 的数学期望 E Y( ) = _

【答】 0【详解】根据行列式的定义，有Y= Z (-1y xX- m.ji.j.由于随机变量X,(i,j=1,2,,n,n≥2)独立同分布，因此有E()= Z (-1)(h E(XuX2*-Xm.)Ais-J.= Z (-)) (X) (X)... (.)ii"-j[E(X) E(X2) .. E(Xn)22222E(X2) E(X)E(X2n)= 0.:..目..2..E(X.) E(X2) ... E(Xm)22二、选择题(1)设f(x)是连续奇函数，F(x)是f(x)的原函数,则(A）当f(x）是奇函数时，F(x)必为偶函数(B）当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数(C)当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数【答】应选(A)【详解】(x)的原函数F(x)可以表示为F()=Jf(t)dt+C,于是F(-x)= Jf(t)dt+Cu=--f f(-u)d(-u)+C.当f(x)为奇函数,即f(-u)=-f(u),从而有F(-x)= J, f(t)dt+C= f" f()dt+C = F(x)即F(x)为偶函数故(A)为正确选项至于(B),(C),(D)可分别举反例如下:1x3+1不是奇函数，可排除(B)f(x)=x2是偶函数,但其原函数F(x)=3

【答】 0 【详解】根据行列式的定义，有 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , n n n r jj j j j nj jj j Y XX X = − ∑ " " " 由于随机变量 ( ) , 1, 2, , ; 2 X i j nn ij = ≥ " 独立同分布，因此有 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) () () () () () ( ) () ( ) () 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 1 22 2 22 2 0. 22 2 n n n n n n r jj j j j nj jj j r jj j j j nj jj j n n n n nn EY E X X X EX EX EX EX EX EX EX EX EX EX EX EX = − = − ⋅ ⋅⋅ = == ∑ ∑ " " " " " " " " " " ## # ## # " " 二、选择题 （1） 设 f (x) 是连续奇函数, F(x)是 f (x) 的原函数,则 (A) 当 f (x) 是奇函数时， F(x)必为偶函数 (B) 当 f (x) 是偶函数时， F(x)必为奇函数 (C) 当 f (x) 是周期函数时， F(x)必为周期函数 (D) 当 f (x) 是单调增函数时， F(x)必为单调增函数 【 】 【答】 应选(A) 【详解】 f ( ) x 的原函数 F x( )可以表示为 0 ( ) () , x F x f t dt C = + ∫ 于是 0 0 ( ) () ( ) ( ) . x x F x f t dt Cu t f u d u C − − = + =− − − + ∫ ∫ 当 f ( ) x 为奇函数,即 f ( ) ( ), − =− u fu 从而有 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ). x x F x f t dt C f t dt C F x − −= += += ∫ ∫ 即 F x( )为偶函数. 故(A)为正确选项, 至于(B),(C),(D)可分别举反例如下: 2 f ( ) x x = 是偶函数,但其原函数 1 3 () 1 3 Fx x = + 不是奇函数,可排除(B);

f(x)=cosx2是周期函数,但其原函数F(x)=sin2x不是周期函数，可排除(C)：x+24f(x)=x在区间(-o0,+co)内是单调增函数,但其原函数F(x)=x2在区间(-00,+00)2内非单调增加函数,可排除(D)(2)设f(x,y)连续，且f(x,)=xy+[[f(u,v)dudv,其中D是由y=0,y=x2,x=11所围区域，则f(x,J)等于(A) xy(B) 2xy(C)y+)(D)y+18[】【答】(C)(*)【详解1]令[f(u,v)dudy=A则f(x,y)=xy+ A,将f(x,y)=xy+ A代入(*)式得[uv + A]dudy = A即[[xy + A]dxdy = A[ dxfxydy +x'dx= A11_A=A,解得A=12381故f(x,y)=xy+8【详解2】等式f(x,y)=xy+[[(u,v)dudv两边取在区域D上的二重积分得：[[ f(x, y)dxdy = [[ xydxdy + [[ xydxdy.[[ f(u, v)dudvA2JJ f(x, y)dxdy=f'dxf。 xydxdy + J'x'dx-Jf f(x, y)dxdyJJ r(x,y)dxdy=+[[f(x, y)dxd)2=12+3D由上式解得[ f(x, y)dxdy =8

2 f ( ) cos x x = 是周期函数,但其原函数 1 1 ( ) sin 2 2 4 Fx x x = + 不是周期函数,可排除(C); f ( ) x x = 在区间 (,) −∞ +∞ 内是单调增函数,但其原函数 1 2 ( ) 2 Fx x = 在区间 (,) −∞ +∞ 内非单调增加函数,可排除(D). （2）设 f (x, y) 连续，且 ( , ) ( , ) , ∫∫ = + D f x y xy f u v dudv 其中 D 是由 0, , 1 2 y = y = x x = 所围区域，则 f (x, y) 等于 (A) xy （B） 2xy (C) 8 1 xy + (D) xy +1 【 】 【答】 (C) 【详解 1】 令 ( , ) ( ) D f u v dudv A = ∗ ∫∫ 则 f (, ) x y xy A = + ,将 f (, ) x y xy A = + 代入(*)式得 [ ] D uv A dudv A + = ∫∫ 即 [ ] D xy A dxdy A + = ∫∫ 2 1 1 2 00 0 x dx xydy A x dx A + = ∫∫ ∫ 1 1 , 12 3 + = A A 解得 1 8 A = 故 1 (, ) 8 f x y xy = + 【详解 2】 等式 (, ) (,) D f x y xy f u v dudv = + ∫∫ 两边取在区域 D 上的二重积分得: (, ) (,) D D DD f x y dxdy xydxdy xydxdy f u v dudvA = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ i 2 1 1 2 00 0 (, ) (, ) x D D f x y dxdy dx xydxdy x dx f x y dxdy = + ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ i 1 1 (, ) (, ) 12 3 D D f x y dxdy f x y dxdy = + ∫∫ ∫∫ 由上式解得 1 (, ) 8 D f x y dxdy = ∫∫

则1f(x,y)= xy+8（3）设向量β可由向量组α,αzαm线形表示，但不能有向量组（I）αi,α2，αm-线性表示，记向量组（II)：α,αz"αm-1,β，则：(A）αm不能由（I)线性表示，也不能由（I）线性表示（B）α㎡不能由（I)线性表示，但可由（I）线性表示(C)α㎡可由（I)线性表示，也可由（II）线性表示(D)αm可由（I)线性表示，但不能由（I）线性表示[【答】 (B)【详解】由题设,存在kj,kz,".km，使得β=k,a,+k,α,+.kmam,且km+0.否则与β不能由向量组α,αz,αm-线性表示矛盾,从而有a--km=L αm-1 +1βαm=kmkmkm即αm可由向量组αj,αzαm-1,β线性表示又根据β不能由向量组α,αzαm-,线性表示知，αm一定不能由α,αz，"αm线性表示,否则将αm用ααz，αm-线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾因此正确选项为(B)（4）设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则(A)^E-A=^E-B.(B)A与B有相同的特征值和特征向量(C)A与B都相似于一个对角矩阵(D)对于任意常数t,tE-A与E-B相似[【答】 (D)【详解】（A)首先贝排除，因它意味着A=B；A与B相似，A与B有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，故（B）不成立；

则 1 (, ) 8 f x y xy = + （3）设向量 β 可由向量组 1 2 , , α α α " m 线形表示，但不能有向量组(Ⅰ) 12 1 , , α α α " m− 线 性表示，记向量组（Ⅱ）： 12 1 , , α α αβ " m− ，则： (A) α m 不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B）α m 不能由(Ⅰ)线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 (C) α m 可由(Ⅰ)线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 (D) α m 可由(Ⅰ)线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示 【 】 【答】 (B) 【详解】 由题设,存在 1 2 , , m kk k " 使得 11 2 2 , m m β =+ + kk k αα α " 且 0 mk ≠ .否则与 β 不能由向量组 12 1 , , α α α " m− 线性表示矛盾,从而有 1 1 1 1 1 , m m m m mm k k k kk − α =− − − + α αβ " − 即 α m 可由向量组 12 1 , , α α αβ " m− 线性表示. 又根据 β 不能由向量组 12 1 , , α α α " m− 线性表示知, α m 一定不能由 1 2 , , α α α " m 线性表示, 否则将α m 用 12 1 , , α α α " m− 线性表示后代入(*)式,即可推出矛盾. 因此正确选项为(B) （4）设 A,B 为 n 阶矩阵，且 A与B 相似， E 为 n 阶单位矩阵，则 ( ) A B λ λ E −= − A E B. A B . ( ) 与 有相同的特征值和特征向量 ( ) C A与B 都相似于一个对角矩阵 (D) 对于任意常数t t, E − AEB 与 − 相似 【 】 【答】 (D) 【详解】( ) A 首先贝排除，因它意味着 A = B; A与B 相似， A与B 有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，故 ( ) B 不成立；