全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）1999数学一

1999年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析填空题-(1) limx2r→0xtanx1-3【答】【详解1】tanx-xtanx-x=lim= limlimx3x0xtanx0xtanxx-→0secx-1= lim3x2x-→0tan’x=lim3x2x→01I3【详解2】1sinx-xcosxsinx-xcosx=limlim=limXx°sin x-0+X→0xtanxX0cosx-cosx+xsinx= lim3x2x→>01sinx= lim33xX→0(2)dt:【答】sinx?【详解】dssin(x-t)'dtx-t=u-sinudtdJdCx"sinu'dudxJo= sin x2故本题应填sin.x2(3)y-4y=e2*的通解为

1999 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、填空题 （1） 2 0 1 1 limx→ xxx tan ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ . 【答】 1 3 【详解 1】 2 23 0 00 2 2 0 2 2 0 1 1 tan tan lim lim lim tan tan sec 1 lim 3 tan lim 3 1 3 x xx x x x x xx xxx x x x x x x x → →→ → → ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ −= = ⎝ ⎠ − = = = 【详解 2】 223 0 00 2 0 0 1 1 sin cos sin cos lim lim lim tan sin cos cos sin lim 3 sin 1 lim 3 3 x xx x x x x x xx x xxx x x x x xx x x x x → →→ → → ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ −= = ⎝ ⎠ − + = = = （2） ( )2 0 sin d x x t dt dx − = ∫ . 【答】 2 sin x . 【详解】 ( ) ( ) 0 2 2 0 2 0 2 sin sin sin sin x x x d d x t dt x t u u du dx dx d u du dx x − −= − = = ∫ ∫ ∫ 故本题应填 2 sin x (3) '' 2 4 x y ye − = 的通解为

【答】 y=Ce-*2,其中C,C为任意常数特征方程为：2-4=0,解得=2,=-2【详解】故y-4y=0的通解为y=C,e-2*+C,e,由于非齐次项为(x)=e2，a=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y=Axe"，代入原方程可求得A=六4故所求通解为y=yi+y'=C,e-2"+C,e?xA故本题应填y=C,e（4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是!【答】n,o,..,0【详解】因为[2-12--1E-A-............-1元-A070=1::00元...故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）-因此本题应填n,0..,0(5）设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：ABC=Φ,P(A)=P(B)=P(C)<且P(AUBUC)=云,则 P(A)=161【答】4【详解】根据加法公式有P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AC)-P(AB)-P(BC)+ P(ABC)由题4,B和C两两相互独立，ABC=Φ,P(A)=P(B)=P(C)<，因此有

【答】 2 2 1 2 1 , 4 x x y Ce C x e − ⎛ ⎞ = ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 其中 1 2 C C, 为任意常数. 【详解】 特征方程为： 2 λ − = 4 0,解得 1 2 λ = 2, 2 λ = − 故 '' y y − = 4 0 的通解为 2 2 11 2 , x x y Ce Ce − = + 由于非齐次项为 ( ) 2x f x e = ， a = 2 为特征方程 的单根，因此原方程的特解可设为 * 2 , x y Axe = 代入原方程可求得 1 4 A = ， 故所求通解为 *22 2 1 12 1 4 xx x y y y C e C e xe − =+ = + + 故本题应填 2 2 1 2 1 , 4 x x y Ce C x e − ⎛ ⎞ = ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （4）设n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 . 【答】 1 ,0, ,0 n n − " 【详解】 因为 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 0 0 0 0 n n E A n n λ λ λ λλ λ λλ λ λ λ λ −− − − − − − − − −− − −= = − − − −− − − − = − " " " " # ### # ### " " " " ## # # " 故矩阵 A 的 n 个特征值是 n 和 0（ n −1重） 因此本题应填 1 ,0, ,0 n n − " . （5）设两两相互独立的三事件 A, B 和C 满足条件： () () () 1 , , 2 ABC P A P B P C = φ ==< 且 ( ) 9 , 16 PA B C ∪∪ = 则 P A( ) = . 【答】 1 4 . 【详解】 根据加法公式有 P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC ( ) ∪∪ = + + − − − + ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )( ) 由题 A B, 和C 两两相互独立， () () () 1 , , 2 ABC P A P B P C = φ ==< 因此有

P(AB)= P(AC)= P(BC)= P2 (A)P(ABC)= P(μ)=0,9从而 P(AUBUC)=3P(A)-3P2(A)=16解得 P(A)=号,P(4)=云又根据题设 P(A)<,故 P(4)=2二、选择题（1）设f(x)是连续函数，F(x)是其原函数，则(A）当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数(B）当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数(C)当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数【【答】应选（A）【详解】(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=,(0)dt+C,于是F(-x)= ff(o)dt+Cu=-f f(-u)d(-u)+C当f(x)为奇函数时，(-u)=-f(u)，从而有F(-x)- f,f(u)du+C=J,f(0)dt+C=F(x)即F(x)为偶函数故（A）为正确选项.至于（B）、（C)、（D）可分别举反例如下：f(x)=x2是偶函数，但其原函数F(x)=x+1不是奇函数，可排除（B）；311f(x)=cosx是周期函数，但其原函数F(x)=sin2x不是周期函数，可排除（C)：-X+2*4x2在区间（-0+0）内非f(x)=x在区间(-0+co)内是单调增函数，但其原函数F(x)=2单调增函数，可排除（D）

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 2 , 0, P AB P AC P BC P A P ABC P φ === = = 从而 ( ) () () 2 9 3 3 16 PA B C PA P A ∪∪ = − = 解得 ( ) ( ) 3 1 , 4 4 PA PA = = 又根据题设 ( ) 1 , 2 P A < 故 P A( ) = 1 4 二、选择题 （1）设 f ( ) x 是连续函数， F x( ) 是其原函数，则 （A） 当 f ( ) x 是奇函数时， F x( ) 必是偶函数. （B） 当 f ( ) x 是偶函数时， F x( ) 必是奇函数. （C） 当 f ( ) x 是周期函数时， F x( ) 必是周期函数. （D） 当 f ( ) x 是单调增函数时， F x( ) 必是单调增函数. 【 】 【答】 应选（A） 【详解】 f ( ) x 的原函数 F ( ) x 可以表示为 ( ) () 0 , x F x f t dt C = + ∫ 于是 ( ) () ( )( ) 0 0 . x x F x f t dt Cu t f u d u C − − = + =− − − + ∫ ∫ 当 f ( ) x 为奇函数时， f ( ) − =− u fu( ) ，从而有 ( ) () () ( ) 0 0 x x F x f u du C f t dt C F x −= + = += ∫ ∫ 即 F x( ) 为偶函数. 故（A）为正确选项.至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下： ( ) 2 f x x = 是偶函数，但其原函数 ( ) 1 3 1 3 Fx x = + 不是奇函数，可排除（B）； ( ) 2 f x x = cos 是周期函数，但其原函数 ( ) 1 1 sin 2 2 4 Fx x x = + 不是周期函数，可排除（C）； f ( ) x x = 在区间( ) −∞ + ∞ 内是单调增函数，但其原函数 ( ) 1 2 2 Fx x = 在区间( ) −∞ + ∞ 内非 单调增函数，可排除（D）

1-cosx.x>0Vx其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处(2) 设(x)=xg(x),x≤0（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导(D）可导【答】应选（D）【详解】因为J(x)-f(o)1-cos xf (0+0)= lim lim=0micyxX-0-→0f(x)-f(0)xg(αx)f (0-0)= limlimg(x)x=0lim-0xx可见，f(x)在x=0处左、右导数相等，因此，f(x)在x=0处可导，故正确选项为(D)1x,0≤x≤2, S(x)=号+≥a, cos n元x,-0<x<+0,(3)设f (x)=2Te<x<lQ2x2其中a, =2"(x)cosn元xdx,(n=0,1,2..),则 S(D)-3(B)_(Ca44【】【答】应选（C）【详解】由题设知，应先将f(x)从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[-1,1]上的偶函数，然后再作周期（周期2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有s(-)-s(-2-)-s(-)(-0)+r(+0)23N（4）设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则（A）当m>n时，必有行列式AB+0（B）当m>n时，必有行列式AB=0

（2）设 ( ) ( ) 2 1 cos , 0 , 0 x x f x x xg x x ⎧ − ⎪ > = ⎨ ⎪ ≤ ⎩ 其中 g x( ) 是有界函数，则 f ( x) 在 x = 0 处 （A）极限不存在. （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 因为 ( ) () () ' 3 0 0 2 0 1 cos 0 0 lim lim 0, x x fx f x f x x → → + − − − += = = ( ) () () ( ) ( ) 2 ' 0 00 0 0 0 lim lim lim 0, x xx f x f xg x f gxx x x → →→ − −− − −= = = 可见， f ( ) x 在 x = 0 处左、右导数相等，因此， f ( x) 在 x = 0 处可导， 故正确选项为(D). (3)设 ( ) 1 ,0 2 1 2 2, 1 2 x x f x x x ⎧ ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ − << ⎪⎩ ， ( ) 0 1 cos , , 2 n n a Sx a nx x π ∞ = = + −∞ < < +∞ ∑ 其中 () ( ) 1 0 2 cos , 0,1, 2, , n a f x n xdx n = = π ∫ " 则 5 2 S ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠等于 (A) 1 2 (B) 1 2 − (C) 3 4 (D) 3 4 − 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 由题设知，应先将 f ( ) x 从[0,1) 作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后 再作周期（周期 2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有 5 11 2 2 22 1 1 0 0 1 2 2 2 2 3 . 4 SS S f f S ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ − = −− = − ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − + + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = （4）设 A 是 m n × 矩阵， B 是n m× 矩阵，则 （A）当 m n > 时，必有行列式 AB ≠ 0 （B）当 m n > 时，必有行列式 AB = 0

(C)）当n>m时，必有行列式AB+0(D）当n>m时，必有行列式AB=0[【答】应选（B）【详解】因为AB为m阶方阵，且秩r(AB)≤min[r(A),r(B)]≤min(m,n)当m>n时，由上式可知，r(AB)≤n<m,即AB不是满秩的，故有行列式AB=0因此，正确选项为（B）(5）设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(O,1)和N(1,1)，则(B)P(X+Y≤1)=1(A) P(X+Y≤O)=22(C) P(X-Y≤0)=(D) P[X-Y≤1)=22[【答】应选（B）【详解】根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此(X +Y)~ N(1,2),(X -Y)~ N(-1,2).1利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为知，（B）为正确选项2三、设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,=)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求兰dx【详解】分别在z=xf(x+y)和F(xy,=)=0的两端对x求导，得d=f+xaydxdxFx+F+F==0dxdx整理后得dydzF=f+xdx"dx+FF-Fxdxdx解此方程组，得

（C））当 n m> 时，必有行列式 AB ≠ 0 （D）当 n m> 时，必有行列式 AB = 0 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 AB 为 m 阶方阵，且 秩 r AB r A r B m n ( ) () () ≤ ≤ min , min , ⎡ ⎤ ( ) ⎣ ⎦ 当 m n > 时，由上式可知， r AB n m ( ) ≤ < ,即 AB 不是满秩的，故有行列式 AB = 0. 因此，正确选项为（B）. （5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ，则 （A） { } 1 0 . 2 PX Y+≤ = (B) { } 1 1 . 2 PX Y+ ≤ = （C） { } 1 0 . 2 PX Y−≤ = (D) { } 1 1 . 2 PX Y− ≤ = 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此 ( ) () XY N XY N + −− ~ 1, 2 , ~ 1, 2 ( )() 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 1 2 知，（B）为正确选项. 三、设 y yx z zx = = () () , 是由方程 z xf x y = ( + ) 和 F xyz ( , 0 ) = 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 . dz dx 【详解】 分别在 z xf x y = + ( ) 和 F xyz ( , 0 ) = 的两端对 x 求导，得 ' '' ' 1 0 dz dy f x f dx dx dy dz Fx Fy Fz dx dx ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ =+ + ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ ++= ⎪⎩ 整理后得 ' ' '' ' dy dz xf f xf dx dx dy dz Fy Fz Fx dx dx ⎧ − + =+ ⎪⎪ ⎨ ⎪ + =− ⎪⎩ 解此方程组，得