全国硕士研究生入学考试数学试卷及解析（真题详解）2000数学一

2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析填空题-xdx=元【答】4【详解】[/2x-xdx=f/1-(x-1)'dxx-1=sinj/,cos*tdt=（2）曲面x2+2y2+3z2=21在点(1,-2,2)的法线方程为x-1_y+2=-2【答】146【详解】令F(x,y,=)=x2+2y2+3-?-21,则有F (1,-2,2)= 2l(a-2)=2,F, (12,2) =4l(2) -8,F (12,2) = 6(-2)=12 因此所求法线方程为：x-1_y+2_2-21-46（3）微分方程xy+3y=0的通解为C【答】y=C, +x【详解】令p=y，则原方程化为3p=0p+Xp=Cx-3其通解为因此，y-Jcr'd=C---+

2000 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、 填空题 (1) 1 2 0 2x − = x dx ∫ . 【答】 . 4 π 【详解】 ( ) 1 1 2 2 2 2 00 0 2 1 1 1 sin cos 4 x x dx x dxx t tdt π π − = − − −= = ∫∫ ∫ （2）曲面 2 22 xyz ++= 2 3 21在点(1, 2, 2 − ) 的法线方程为 . 【答】 122 1 46 xy z −+− = = − . 【详解】 令 ( ) 2 22 F xyz x y z , , 2 3 21 =+ + − ， 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1, 2,2 ' 1, 2,2 ' 1, 2,2 1, 2, 2 2 2, 1, 2, 2 4 8, 1, 2, 2 6 12. | | | x y z F x F y F z − − − −= = − = =− −= = 因此所求法线方程为： 122 1 46 xy z −+− = = − （3）微分方程 '' ' xy y + = 3 0的通解为 . 【答】 2 1 2 C y C x = + . 【详解】 令 ' p = y ，则原方程化为 ' 3 p p 0, x + = 其通解为 3 p Cx . − = 因此， 3 2 2 1 12 2 , 2 2 C C C y Cx dx C x C C x − − ⎛ ⎞ = = − = + =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫

1213a+2（4）已知方程组2无解，则a=1a-20x.【答】-1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有1:17[222:111200-13a+2：-1a1a1-2000a-20(a-3)(a+1)a-3:a-3可见。当α=-1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，因此方程组无解注意，当a=3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，方程组有无穷多解，A发生B不发生的概率与B发生A不(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为9发生的概率相等，则P(A)=2【答】3'【详解】由题设。有P(AB)=,P(AB)= P(AB)因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立。于是由P(AB)=P(AB)，有P(A)P(B)=P(A)P(B)即有 P(A)[1-P(B)]=[1-P(A)]P(B),可得 P(A)= P(B)从而β P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)}=解得 P(4)=2.3二、选择题(1)设f(x),g(x)是恒大于零得可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g (x)<0,则当a<x<b时，有(A) f(x)g(b)> f(b)g(x)(B) f(x)g(a)>f(a)g(x)(C) f(x)g(x)> (b)g(b)(D) f(x)g(x)> f(a)g(a)

（4）已知方程组 1 2 3 12 1 1 23 2 3 12 0 x a x a x ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − 无解，则a = . 【答】 -1. 【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有 ( )( ) 12 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 23 2 3 0 1 1 0 1 1 1 2 0 0 2 3 1 00 3 1 3 aa a a a aa a ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + → − →− ⎢ ⎥ − −− − − + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ## # ## # ## # 可见。当 a = −1时，系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的秩为 3，因此方程组无解. 注意，当 a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2，方程组有无穷多解. (5)设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 , 9 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不 发生的概率相等，则 P A( ) = . 【答】 2 . 3 【详解】 由题设。有 ( ) ( ) ( ) 1 , 9 P AB P AB P AB = = 因为 A 和 B 相互独立，所以 A 与 B ， A 与 B 也相互独立。于是由 P AB P AB ( ) = ( ) ， 有 PAPB PAPB ( ) ( ) = ( ) ( ) 即有 PA PB PA PB () () () ⎡ ⎤⎡ ⎤ 11 , − =− ( ) ⎣ ⎦⎣ ⎦ 可得 P A( ) = P B( ) 从而 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 , 9 P AB P A P B P A = =− = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 解得 P A( ) = 2 . 3 二、选择题 （1）设 f () () x gx , 是恒大于零得可导函数，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f xgx f xg x − < 0，则当 axb < < 时，有 （A） f () () () () xgb f bgx > （B） f ( xga f agx ) ( ) () () > （C） f () () () () xgx f bgb > （D） f ( xgx f aga ) () () () > 【 】

【答】应选（A）【详解】由题设知J(x))_f'(x)g(x)-f(x)g (x)<0(g(x))g(x)因此当a<x<b时，有f(x)、J(b)g(x)g(b)即f(x)g(b)> f(b)g(x)可见（A）为正确选项(2）设S:x2+y?+z=α2（z≥0),S,为S在第一卦限中的部分，则有(A) 「xdS =4/xdS(B)([ydS=4/xds(C) [J zdS =4 xds(D) [[ xyzds = 4][ xyzdS【【答】应选（C)【详解】显然，待选答案的四个右端均大于零，而S关于平面x=0和y=0对称，因此（A）（B）、（D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上，有[ =dS = 4[[ zdS = 4[ xdSsS-（3）设级数u，收敛，则必收敛的级数为=1(B)(A)un=(D)1Cu2nutu.nsl[】【答】应选（D)【详解】利用级数的性质即知，（D）为正确选项，事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举反例说明是不正确的.例如：1(-1)"un7一收敛，但7（-1发散，可排除（A)；Innnlnnnn=2Z(-1)"1一收敛，但u，发散，可排除（B）；-=Vn=inn=ln=1

【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知 ( ) ( ) () () () () ( ) ' ' ' 2 0, f x f xgx f xg x gx g x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = < ⎝ ⎠ 因此当 axb < < 时，有 ( ) ( ) ( ) ( ) f x fb gx gb > 即 f () () () () xgb f bgx > ， 可见（A）为正确选项. （2）设 ( ) 2 22 2 1 Sx y z a z S : 0, ++= ≥ 为 S 在第一卦限中的部分，则有 （A） 1 4 S S xdS xdS = ∫∫ ∫∫ （B） 1 4 S S ydS xdS = ∫∫ ∫∫ （C） 1 4 S S zdS xdS = ∫∫ ∫∫ （D） 1 4 S S xyzdS xyzdS = ∫∫ ∫∫ 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 显然，待选答案的四个右端均大于零，而 S 关于平面 x = 0 和 y = 0对称，因此（A）、 （B）、（D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上,有 1 1 4 4 SS S zdS zdS xdS = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ （3）设级数 1 n n u ∞ = ∑ 收敛，则必收敛的级数为 （A） ( ) 1 1 . n n n u n ∞ = ∑ − （B） 2 1 n n u ∞ = ∑ （C） ( ) 21 2 1 . n n n u u ∞ − = ∑ − (D) ( ) 1 1 . n n n u u ∞ + = ∑ + 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 利用级数的性质即知，（D）为正确选项，事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举 反例说明是不正确的.例如： ( ) 2 1 1 ln n n n ∞ = ∑ − 收敛，但 ( ) 2 2 1 1 ln n n n n u n nn ∞ ∞ = = ∑ ∑ − = 发散，可排除（A）； ( ) 1 1 1 n n n ∞ = ∑ − 收敛，但 2 1 1 1 n n n u n ∞ ∞ = = ∑ ∑= 发散，可排除（B）；

2(-1)收敛，但之(um--um)-Z(>二发散，可排除（c），(2n-12n)n三n（4）设n维列向量组αj",αm（m<n)线性无关，则n维列向量组β,,β线性无关的充分必要条件为(A)向量组αj,,αm可由向量组β，β线性表示(B)向量组β,β.可由向量组α…α.线性表示(C)向量组αjαm与向量组β"β等价(D)矩阵A=（α,,αm）与矩阵B=（B，,βm）等价[【答】应选（D）【详解】用排除法.（A）为充分但非必要条件：若向量组αi，,αm可由向量组β，…,β线性表示，则一定可推导β，",β线性无关，因为若β,βm线性相关，则r(αi,",αm）<m,于是αi,,αm必线性相关，矛盾.但反过来不成立，如当m=1时，α,=(1,0),β,=(0,1)均为单个非零向量是线性相关的，但α,并不能用β线性表示(B)为既非充分又非必要条件.如当m=1时，考虑α,=(1,0),β,=(0,1)均线性无关，但β并不能由α,线性表示，必要性不成立；又如α,=(1,0)β=(0,0)，β可由α,线性表示，但β并不线性无关，充分性也不成立（C）为充分但非必要条件，若向量组α,"αm与向量组β,β等价，由α,α.线性无关知，r(βB，,βm）=r(αj,,αm）=m,因此β,,β线性无关，充分性成立；当m=1时，考虑α=(1,0),β,=(0,1)均线性无关，但α,与β,并不是等价的，必要性不成立（E）故剩下（D）为正确选项.事实上，矩阵A=（αi,αm）与矩阵B=（βi,",βm）等价r(A)=r(B)r(B,,β.)=r(αj,αm)=m,，因此是向量组β,,βm线性无关的充要条件（5）设二维随机变量（X,Y)服从二维正态分布，则随机变量=X+Y与n=X-Y不相关的充分必要条件为

( ) 1 1 1 1 n n n ∞ − = ∑ − 收敛，但 ( ) 21 2 11 1 11 1 2 12 n n nn n u u nnn ∞∞ ∞ − == = ⎛ ⎞ −= +≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ∑∑ ∑ 发散，可排除（c）. （4）设 n 维列向量组α α 1, , " m ( ) m n < 线性无关，则 n 维列向量组 1, , β " β m 线性无关的充 分必要条件为 （A） 向量组 1, , α " α m 可由向量组 1, , β " β m 线性表示. （B） 向量组 1, , β " β m 可由向量组 1, , α " α m 线性表示. （C） 向量组 1, , α " α m 与向量组 1, , β " β m 等价. （D） 矩阵 ( ) 1, , A = α " α m 与矩阵 B = (β1, , " β m ) 等价. 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 用排除法. （A）为充分但非必要条件：若向量组 1, , α " α m 可由向量组 1, , β " β m 线性表示，则一定可推 导 1, , β " β m 线性无关，因为若 1, , β " β m 线性相关，则r m (α α 1, , " m ) < 于是 1, , α " α m 必线 性相关，矛盾.但反过来不成立，如当m =1时， 1 1 () () 1,0 , 0,1 T T α β = = 均为单个非零向量是 线性相关的，但α1 并不能用 β1线性表示. （B）为既非充分又非必要条件.如当 m =1时，考虑 1 1 () () 1,0 , 0,1 T T α β = = 均线性无关，但 β1 并不能由α1 线性表示，必要性不成立；又如 1 1 () ( ) 1,0 , 0,0 T T α β = = ， β1可由α1 线性表示， 但 β1并不线性无关，充分性也不成立. （C）为充分但非必要条件，若向量组 1, , α " α m 与向量组 1, , β " β m 等价，由 1, , α " α m 线性 无关知， ( )( ) 1 1 , , , m m rrm ββ αα " " = = 因此 1, , β " β m 线性无关，充分性成立；当 m =1时， 考虑 1 1 () () 1,0 , 0,1 T T α β = = 均线性无关，但α1 与 β1并不是等价的，必要性不成立. （E） 故剩下（D）为正确选项.事实上，矩阵 A = (α1, , " α m ) 与矩阵 ( ) 1, , B = β " β m 等价 ⇔ rA rB () () = ⇔ rrm ( ) ββ αα 1 1 , , , " " m m = ( ) = ，因此是向量组 1, , β " β m 线性无关 的充要条件. （5）设二维随机变量( ) X ,Y 服从二维正态分布，则随机变量ξ = X +Y 与η = − X Y 不相关 的充分必要条件为

(A)E(X)= E(Y)(B)E(x2)-[E(X)7=E(y)-[E()7(C)E(x2)= E(y2).(D)E(x2)+[E(X) = E(y2)+[E()}【【答】应选（B）【详解】因为Cov(5,n)=Cov(X +Y,X -Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=Cov(X,X)-Cov(Y,y)= D(X)-D(Y)可见Cov(5,n)=0 D(X)-D(y)=0E(x)-[E(x)}=E(y)-[E(y)]故正确选项为（B）!2+exsinx三、求lim1+e4[μ|+【详解】因为I12+er2+ex2sinxsinxlimlim-1=14A[xl1X-0xx-→01+e1+e-xx1!2+er2+exsinxsinxlim= 0+1=1,lim44[xlxX-0x-→01+e1+e-xr0?2X四、设2，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求xy,+gaxoyyy【详解】根据复合函数的求导公式，有Oz1y=yfeaxJ

(A) E ( ) () X EY = . (B) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 E X E X EY EY − =− ⎡ ⎤ ⎡⎤ . ⎣ ⎦ ⎣⎦ (C) ( ) () 2 2 E X EY = . (D) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 E X E X EY EY + =+ ⎡ ⎤ ⎡⎤ . ⎣ ⎦ ⎣⎦ 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) () , , , , , , , , Cov Cov X Y X Y Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y Cov X X Cov Y Y D X DY ξ η = +− = −+− = − = − 可见 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ,0 0 Cov D X D Y E X E X EY EY ξ η =⇔ − = ⇔ − =− ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎣ ⎦ ⎣⎦ 故正确选项为（B）. 三、求 1 0 2 sin lim . 4 1 x x e x x e x → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 【详解】 因为 1 1 0 0 1 1 0 0 2 sin 2 sin 2 lim lim 1 1, 4 4 1 1 1 2 sin 2 sin lim lim 0 1 1, 4 4 1 1 x x x x x x x x ex ex x x e e x x ex ex x x e e x x − − + + → → → → ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + + = − = −= + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + + = + = += + + ⎝ ⎠⎝ ⎠ 四、设 , , x x z f xy g y y ⎛ ⎞ ⎛⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 2 . z x y ∂ ∂ ∂ 【详解】 根据复合函数的求导公式，有 '' ' 1 2 2 z y 1 yf f g x yx ∂ =+ − ∂