第三章第三节泰勒（Taylor）公式理论分析用多项式近似表示函数一应用近似计算一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用O0000x机动目录上页下页返回结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三章
一、泰勒公式的建立在微分应用中已知近似公式：f(x) = f(xo)+ f(xo)(x-xo)y= f(x)pi(x)pi(x)x的一次多项式+ x特点: pi(xo)= f(xo)Xo x以直代曲pi(xo) = f'(xo)如何提高精度？需要解决的问题如何估计误差？O0000x机动目录上页下页返回结束
特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x 一、泰勒公式的建立 f (x) x y y = f (x) o ( ) ( )( ) 0 0 0 f x + f x x − x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.求n次近似多项式pn(x)，要求：Pn(xo) = f(xo), Ph(xo)= f(xo), * ph")(xor(n) (xo)Pn(x) = ao +ai(x-xo)+a2(x - xo)2 +..+an(x - xo)n令ai + 2a2(x- xo)+...+ nan(x- xo)n-1则pn(x) =2!a2 +...+n(n-1)an(x-xo)n-2pn(x) =n!anp("(x)=ai = pn(xo) = f'(xo)ao = pn(xo)= f(xo),a2 ="(x0)="(x0), ,an =p"(xo)= (m)(xo)故 Pn(x)= f(xo)+ f'(xo)(x-Xo)+ f"(xo)(x-xo)2 +..+n (n)(xo)(x -xo)nO000x机动目录上页下页返回结束
1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n = ( ), 0 = f x , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn (x) = ( )0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 2 ! 1 ! 1 n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f (x )(x − x ) 2 ! 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 pn (x) = 则 pn (x) = pn (x) = n an = ! ( ) ( ) p x n n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n = ( ), 0 = f x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n na x x 2 2!a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n n n a x x a0 n n a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ −
2.余项估计令 R(x)=f(x)-Pn(x)(称为余项)，则有Rn(xo) = R(xo) = ... = R(n)(xo) = 0R(x)(x-xo)n+1R',(5)R,(x)- R(xo)(i在x与x之间(x-xo)n+1_ 0 (n+1)(-x)"R(52)R,(1) - R,(xo)(三2 在xo 与i之间)(n+ 1)(5i - xo)"-0 (n +1)n(≤2 -xo)n-1R(n+1)(E)R(n)(En) - R(n (xo)之间)在xo与x(n +1)...2(En - xo)- 0(n +1)!O000108机动自录上页下页返回结束
) 0 ( 在x 与 n 之间 ( ) ( ) 1 0 + − = n n x x R x ( 1) 2( ) ( ) 0 ( ) n x R n n n n + − = 2. 余项估计 R (x) f (x) p (x) 令 n = − n (称为余项) , ( ) 0 R x n ( ) 0 R x n = ( ) 0 0 ( ) = = R x = n n 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + − = ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R + − = 1 2 0 2 ( 1) ( ) ( ) − + − = n n n n x R = ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R n n 则有 ( ) 0 R x − n − 0 ( ) 0 R x n − − 0 ( ) 0 ( ) R x n − n − 0 x ) 1 0 ( 在x 与x之间) 1 2 0 ( 之间 在 与 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
R(x) = f(x)- pn(x)R(n+)(3)R,(x)(三在Xo 与x之间)n+l(x-xo)"(n+1l)!(x) = 0, :. R(n+l)(x) = f(n+1)(x)()n+1(≤在xo与x之间)X(n+1)!L f(n+I)(x)|≤M 时当在 xo 的某邻域内M[n+1[Rn(x)≤C-Xo(n+1)!:. Rn(x) =o(x - xo)")(x→ xoO0D0机动自录上页下页返回结束
R (x) f (x) p (x) n = − n ) 0 ( 在x 与x之间 ( ) 0, ( 1) = + p x n n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 当在 x0 的某邻域内 f (n+1) (x) M 时 ) 0 ( 在x 与x之间 1 0 ( 1)! ( ) + − + n n x x n M R x ( ) (( ) ) ( ) 0 0 R x o x x x x n n = − → 机动 目录 上页 下页 返回 结束