第三章第四节函数的单调性、极值和最大最小值一、函数单调性的判定法函数的极值二、三、 i函数的最大最小值O00010x机动目录上页下页返回结束
第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的极值 函数的单调性、极值 和最大最小值 第三章 三、函数的最大最小值
一、函数单调性的判定法定理1.设函数 f(x)在开区间I内可导,若 f(x)>0(f(x)<O),则f(x)在I内单调递增(递减)证:无妨设 f(x)>0，EI,任取 xi,X2EI (xi<x2)由拉格朗日中值定理得f(x2) - f(x) = f'()(x2 -x) > 05 e(xi,x2)c I故 f(x)<f(x2).这说明f(x)在I内单调递增证毕O0000x机动自录上页下页返回结束
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
例1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间解: f'(x)=6x2 -18x+12 =6(x-1)(x-2)令 f'(x)=0,得 x=1,x=212(1, 2)(-0, 1)(2, +8)x00+f'(x)+21f(x)yt2故,f(x)的单调增区间为（-0,1),(2,+);f(x)的单调减区间为(1,2)012x0000x机动自录上页下页返回结束
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：1）单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点例如, =/x2,x(-00,+80)yt y=3/x?233/xx0=8r=0y2）如果函数在某驻点两边导数同号=x则不改变函数的单调性例如，=x3,xE(-80,+80)0xJy'= 3x2y'lx=0 = 0OeD0X机动目录上页下页返回结束
y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2sinx元T时，成立不等式例2.证明0<x≤≥2元x2sin x证:令f(x)元x元元上可导，且则f(x)在(0,")上连续,在(0,22证x·cosx-sinxcos xx-tanx)<0f'(x) =?2xtan x代因此f(x)在(O,")内单调递减21又(x)在处左连续,因此f(x)≥22sinx元从而xE(0元x2O0000x证明自录上页下页返回结束
例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明 目录 上页 下页 返回 结束