第一章第四节连续函数连续性的定义函数的间断点三、连续函数的运算法则四、闭区间上连续函数的性质oleoolox机动自录上页下页返回结束
二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续 第一章 四、闭区间上连续函数的性质 三、连续函数的运算法则
函数连续性的定义定义：设函数=f(x)在 xo的某邻域内有定义，且lim f(x)=(xo)，则称函数 f(x)在x连续x→x0可见，函数f(x）在点xo连续必须具备下列条件(1）f(x)在点xo 有定义，即f(xo）存在：极限 lim f(x)存在;(2)x→>xolim f(x)= f(xo).(3)x→xo左连续、右连续、开区间内连续eo00x机动自录上页下页返回结束
可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续性的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左连续、右连续、开区间内连续
且在α点右连续，b点左若f(x)在区间(α，b)内连续连续，则称它在[α，b]上连续,或称它为区间[α，b]上的连续函数.在闭区间[α,b]上的连续函数的集合记作 C[a,b]例如, P(x)=ao +aix+..+anxn（有理整函数）在（-80,+80）上连续P(x)又如，有理分式函数 R(x)Q(x)在其定义域内连续只要 Q(xo)±0, 都有 lim R(x)= R(xo)x-→>xol0ool0x机动目录上页下页返回结束
( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 在区间(a , b )内连续, 且在 a 点右连续, b点左 连续, 则称它在[a , b ]上连续, 或称它为区间[a , b]上的 C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = → 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数
对自变量的增量△x=x-xo，有函数的增量Ay= f(x)- f(xo) = f(xo +△xr)- f(xo)函数f(x)在点xo连续有下列等价命题：lim f(x)= f(xo) lim f(xo +△x)= f(xo)△xr->0x→xoyy=f(x) lim △y=0A△x-→0二 f(xo)= f(xo)= f(xot)Ax左连续右连续x xXo0>0,>0,当x-x=x< 时,有f(x)-f(xo)=Ay<1eoo1ox机动自录上页下页返回结束
对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.证明函数 y= sin x 在（-oo,+o）内连续证: Vx E(-0, +80)AxAX△y = sin(x +△x)-sinx = 2sinCOSC2△x[cos(×+)siny|=22△x →0△x1 =|△x≤202.lim △y= 0即Ax>0这说明y=sinx在（-80,+80）内连续，同样可证：函数y=cosx在（-0，+oo）内连续OeoD0机动目录上页下页返回结束
例. 证明函数 在 内连续 . 证: x(−, + ) y = sin(x + x) −sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束