第四章第二节微积分的基本公式一、引例二、微积分基本定理oleoolox机动自录上页下页返回结束
二、微积分基本定理 一、引例 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式 第四章
一、引例在变速直线运动中,已知位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有关系s'(t) = v(t)物体在时间间隔[T,T,1内经过的路程为v(t)dt = s(T2) - s(T)T这里s(t)是v(t)的原函数.这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性oleooox机动目录上页下页返回结束
一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 微积分基本定理1、变限积分函数Def: 设 f(x)e R[a,b], 则称F(x) = [" f(t)dt, G(x) =[" f(t)dt, x e[a,b]分别为由f(x)定义的积分上限上积分下限函数，简称为变上限与变下限积分函数二者无本质区别G(x)= f" f(t)dt = -f" f(t)dtProp: 设 f(x)e R[a,b]则 F(x)= (f(t)dt在[a,b]上连续oleoloex机动自录上页下页返回结束
二、微积分基本定理 f (x) R[a,b], F(x) f (t)dt, G(x) f (t)dt, x [a,b] b x x a = = ( ) ( ) ( ) b x x b G x f t dt f t dt = = − 1、变限积分函数 Def : 设 则称 Prop : 设 f (x) R[a,b], ( ) ( ) [ , ] . x a F x f t dt a b = 则 在 上连续 分别为由 f (x)定义的积分上限与积分下限函数, 简称为 变上限与变下限积分函数. 二者无本 质区别 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: 设 If(x)< M, xe[a,b]. 则Vxe[a,b]IF(x+△x)- F(x)H (*+ f(t)dt - [ f(t)dt = (+ f(t)dt/≤ (+2/f(t)Idt/≤M.Ax→0: F(x)E C[a,b].例1．设,f(x)在[0,1]上单减则Vx E(0,1),有( f(x)dx ≥a/ f(x)dx证: 当xe[a,1j时, f(x)≤f(a), . ["f(x)dx≤(1-a)f(a),( f(x)dx ≤ f(a),即 1-a当x E[O,a]时, f(x)≥ f(a), :. ( f(x)dx ≥af(a),OeoD0机动自录上页下页返回结束
证: 例1. 证: 设 设 f (x)在[0,1]上单减, | f (x)| M, x[a,b]. 则x[a,b], | ( ) ( )| | ( ) ( ) | + − = − + x a x x a F x x F x f t dt f t dt | ( ) | + = x x x f t dt | | ( ) | | x x x f t dt + M x →0 F(x)C[a,b]. (0,1), ( ) ( ) . 0 1 0 a x 有 f x dx a f x dx 当x[a,1]时，f (x) f (a), ( ) (1 ) ( ), 1 f x dx a f a a − 1 1 ( ) ( ), 1 a f x dx f a a − 当x a [0, ]时，f x f a ( ) ( ), 0 ( ) ( ), a f x dx a f a 则 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
[" f(x)dx ≥f(a),即 qJo-"f(x)dx≤=" f(x)dx所以Qa" f(x)dx≤(1-a) [~ f(x)dx整理即得结论1e000x机动目录上页下页返回结束
所以 即 整理即得结论. 0 1 ( ) ( ), a f x dx f a a − a a f x dx a f x dx a 0 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 0 ( ) (1 ) ( ) a a a f x dx a f x dx − 机动 目录 上页 下页 返回 结束