第一章第三节极限存在准则及两个重要极限一、夹逼准则二、单调有界原理三、无穷小的比较oleoolox机动自录上页下页返回结束
二、单调有界原理 一、夹逼准则 第三节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章 三、 无穷小的比较
(P26)一.夹逼准则(准则1)1.数列极限存在的夹逼准则(l)yn ≤xn≤zn (n=l, 2, ..)lim xn = an→0(2) lim yn = lim zn = an>80n>80证:由条件(2)，>0,3Ni,N2:当n>Ni时,n-α<当n>N时,zα<令 N=max(Ni,N2),则当n>N 时,有a-<yn<a+, a-<zn<a+,由条件(1)a-<yn≤xn≤zn<a+即xn-α<ε,故lim xn=aα.oeolo0xn-00机动自录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 y zn a n n n = = → → (2) lim lim 一 . 夹逼准则 (准则1) (P26) (1) y x z ( n =1, 2, ) n n n 证:由条件 (2) , 0, , N1 当 时, 当 时, 令 max , , N = N1 N2 则当 n N 时, 有 由条件 (1) n n n a − y x z a + 即 x − a , n 故 lim x a . n n = → , N2 1. 数列极限存在的夹逼准则 xn a n = → lim
111lim n1例1.证明22O2+2元n00n+元n+n元n证：利用夹逼准则.由2111nn222C+2元n+n元n+元n2＋元nn+n元1lim且lim:121+匹n00n→>αn+n元n11limlim2n-→o1+ 元n>0n十元2n11lim n=1O22+2元n-→0nn+n元十元no0oox机动自录上页下页返回结束
例1. 证明 证: 利用夹逼准则 . + + + + + n + n n n n 2 2 2 1 2 1 1 + 2 2 n n 且 → + 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n + = → =1 n n→ lim + + + + + n + n n n 2 2 2 1 2 1 1 =1 由 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.函数极限存在的夹逼准则定理。当x EU(xo,)时, g(x)≤f(x)≤h(x),且(x|>X>0)lim g(x)= lim h(x)= Ax→Xox-→Xo(x→00)(x →8)lim f(x)= Ax→>Xo(x →8)oeoox机动目录上页下页返回结束
2. 函数极限存在的夹逼准则 定理. ( , ) , 当x x0 时 g x h x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x) f (x) h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( 0) x X ( ) x → ( ) x → ( ) x → 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一个重要极限BDsinx1. lim=1Ax-0xC0证：当xE(O,号)时,AAOB的面积<圆扇形AOB的面积<AAOD的面积即sinx<x<tan x1x故有1<(0<x<号)sin xcosxsinx(0<|x|<)<1显然有cOS x <xsinx注: lim cosx = 1lim1x->0x-0xOe000?注自录上页下页返回结束
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 第一个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束