第一节第四章不定积分(4)：有理函数等的积分·基本积分法：直接积分法；换元积分法：分部积分法求导·初等函数初等函数积分本节内容有理函数的积分一、有可化为有理函数的积分olelollox机动目录上页下页返回结束
第一节 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分 不定积分(4): 有理函数等的积分 本节内容: 第四章
一、有理函数的积分有理函数P(x)+ar00R(x) :=boxm +b,xm-1Q(x)+b.m≤n时,R(x)为假分式; m>n 时,R(x)为真分式有理函数真分式多项式+相除分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为AMx+NN+,p2-4q<0)k(x2+px+g)a)hx-0o0l0x机动自录上页下页返回结束
一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1 有理函数: m n 时, 为假分式; m n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( N , 4 0) 2 − + k p q 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页 返回 结束
真分式分解为部分分式一待定系数法(1)若O(x)有一个k重实根α,则分解式必含有以下分式AA,A,(x-a)k(x-a)x-a其中 A1,A2,,A为待定系数.(2)若Q(x)有一对k重共轭复根 α 和β,此时,Q(x)必有因子（x2＋ px+q)，其中x2 + px +q =(x-α)(x-β),(p2 -4q<0)则分解式必含有以下分式O0o010x机动目录上页下页返回结束
真分式分解为部分分式—待定系数法 1 2 2 ( ) ( ) k k A A A x a x a x a + + + − − − 1 2 , , , A A Ak 和 ， (1) 若Q(x)有一个k重实根a,则分解式必含有以下分式 (2) 若Q(x)有一对k重共轭复根 则分解式必含有以下分式 此时,Q(x)必有 2 ( ) , k x px q + + 2 2 x px q x x p q + + = − − − ( )( ),( 4 0). 其中 为待定系数. 因子 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束
则分解式必含有以下分式B,x+CB,x+C.x+(x? + px+q(x? +px+g)(x2 + px +g)其中 B,,C,,i=1,2,,k 为待定系数注：上述待定系数的求法:通分比较等式两端x同次幂幕的系数求得各个待定系数O0000?机动目录上页下页返回结束
1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) k k k B x C B x C B x C x px q x px q x px q + + + + + + + + + + + + , , 1,2, , B C i k i i = 则分解式必含有以下分式 其中 为待定系数. 注: 上述待定系数的求法:通分比较等式两端 x 同次 机动 目录 上页 下页 返回 结束 幂的系数,求得各个待定系数
四种典型部分分式的积分：Adx = Alnx-a+Cx-aAA+C (n+l)2dx1-nMx+N3dx变分子为2x2+ px+q(2x+p)+N_Mp2Mx+Ndx再分项积分(x? + px +q)可建立其(p2-4q<0,n1)递推公式000机动目录上页下页返回结束
四种典型部分分式的积分: = Aln x − a +C x a C (n 1) n A n − + − = 1− ( ) 1 − x x a A 1. d − x x a A n d ( ) 2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 + + + x x px q M x N 3. d 2 + + + x x px q M x N n d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M + 2 M p + N − 再分项积分 可建立其 递推公式