第四章第二节定积分一计算不定积分换元积分法换元积分法→定积分分部积分法分部积分法一、定积分的换元法二、 定积分的分部积分法o0lol00机动目录上页下页返回结束
二、定积分的分部积分法 第二节 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分—计算 第四章
一、定积分的换元法定理1. 设函数,f(x) e C[αa,b], 单值函数 x=p(t)满足1) p(t) eC'[α, β], (α)=a, p(β) = b;2)在[α,βl 上a≤Φ(t)≤b,~f(x)dx ={P f [p(t)]p'(t)dt则证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数，则F[(t)l是f[(t)]p(t)的原函数,因此有h(~ f(x)dx= F(b)- F(a)= F[β(β)] -F[β(α)]f [p(t)]p'(t)dtoleoolox机动自录上页下页返回结束
一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1 t C 2) 在 [ , ] 上 () = a,() = b; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则
f(x)dx=[" f [p(t)]p'(t)dt说明：1)当β<α,即区间换为[β,α]时，定理1仍成立,2）必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回3）换元公式也可反过来使用，即[β f[p(t) lp'(t) dt= [~ f(x)dx (令x=p(t))f[p(t)lp'(t) dt = fp f[ p(t)] d p(t)或配元配元不换限olo0x机动自录上页下页返回结束
说明: 1) 当 < , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令x =(t)) b a ( )d = 或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (t) (t) (t) (t)
例1.计算Na?-x2 dx (a>0)1解：令x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时,t=0；x=a时,t=号.Vy=Va?-x·原式=α2cos?tdt10Sq2{ (1+cos2t)dt200a x22元a元a12sin2t)t+42201eo00x机动自录上页下页返回结束
例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且
4x+24dx例2.计算0/2x+1解：令t=~2x+1,则dx=tdt, 且x2当x=0时,t=1;x=4时,t=3.22tdt原式=t(2 +3)d3221(l.3+3t)3231oeolo0机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2 + − (t 3)dt 2 1 3 1 2 = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且