《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第3章 中值定理和导数的应用 Ch3-6 弧微分、曲率

第三章第六节孤微分、曲率与切线的转角有关曲线的弯M曲程度M与曲线的弧长有关M主要内容：弧微分曲率及其计算公式一Aa三、曲率圆与曲率半径oeololox机动目录上页下页返回结束

第六节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径  M  M M  弧微分、曲率 第三章

一、弧微分y= f(x设f(x)在 (a,b)内有连续导数。 yMoM在y=f(x)上取固定点M(xo,Jo)作为度量弧长的基点规定：x增大的方向为曲线的0xxXo正向。对曲线上任一点 M(x,J),规定有向弧段M,M的值s:s的绝对值为弧段的长度当方向与曲线的正向一致时,s>0相反时,s<0。显然，s= s(x)是x的单调增加函数leD0x机动目录上页下页返回结束

M0 0 x M x s的绝对值为弧段的长度， 设 f ( x) 在 (a,b) 内有连续导数。 在 y = f (x) 上取固定点 ( , ) 0 0 0 M x y 作为度量弧长的基点， 规定： x 增大的方向为曲线的 正向。 对曲线上任一点 M( x, y), 相反时,s  0。 当方向与曲线的正向一致时,s  0; 显然， s = s(x) 是x的单调增加函数. y = f (x) o x y 规定有向弧段M0 M的值s： （ 一、 弧微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设 y=f(x)在(α,b)内有连续导数,其图形为 AByy= f(x)弧长 s= AM= s(x)PMAsMM'MM'AAyMAxMM'△xAxMM'/(△x)? +(Ay)0ax1bxMM△xx+△xMMMM'lim±1MMAx-0MM"As1 +(v): s'(x)= limAx->0 △Ax0000机动目录上页下页返回结束

设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s = AM = s(x) x s   M M M M   = x M M    M M M M   = x x y   +   2 2 ( ) ( ) M M M M   =  2 1 ( ) x y   + x s s x x     =  →0 ( ) lim 2 = 1+ ( y ) x A B y = f (x) a b x o y x M x + x M  y lim 1 0 =     → M M M M x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

s(x)= /1+(y)2x 或 ds = /(dx)2 +(dy)2ds = /1+(y)?dxx= x(t)若曲线由参数方程表示(y= y(t)ds = x2 + j? dt则弧长微分公式为yds =|MT几何意义：TIdyMdxdxdyasinα= cosα ;x x+dx xdsds000x机动自录上页下页返回结束

则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2 =  +  ds 1 ( y ) dx 2  = +  或 2 2 ds = (dx) + (dy) x + dx dx o x y x M dy T  几何意义: ds = MT cos ; d d =  s x sin d d = s y 若曲线由参数方程表示:    = = ( ) ( ) y y t x x t 机动 目录 上页 下页 返回 结束

曲率及其计算公式pM,1.曲率定义M2MM32MM'的长度为[AsN.NM切线转过的角度为△ααMM'的平均弯曲程度[AslAα即 平均曲率 KDAsM'当△s→0(即 M→M)时,△s平均曲率的极限称为曲线C在AQMAα点M处曲率MoK = limAsAs->0α+ααAαdα0若 lim存在，xK:AsAs-→0dsO0000x机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式 s K s   =  →  0 lim ds d K  =  2 1   +  • M • M   s 点M处曲率 1.曲率定义 • • • M1 M2 M3  M1 M2 • • • • N2 N1 M0 • s K   = s  即 平均曲率 当 s →0 （即 M → M ）时， 平均曲率的极限称为曲线C在 s s   →  0 若 lim 存在， o x y MM ' 的平均弯曲程度 切线转过的角度为  MM ' 的长度为 s