第三章微分中值定理与导数的应用罗尔中值定理推广泰勒公式拉格朗日中值定理中值定理(第三节)柯西中值定理研究函数性质及曲线性态应用利用导数解决实际问题
第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用
第三章第一节微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、 拉格朗日(Lagrange)中值定理三、 柯西(Cauchy)中值定理oleoolox机动自录上页下页返回结束
一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 微分中值定理 第三章
一、罗尔(Rolle)定理费马(Fermat)引理y= f(x)在U(xo)有定义,_>f'(xo)=0且f(x)≤f(xo),f'(xo)存在y(或≥)证: 设Vxo +△x EU(xo),f(xo + △x)≤ f(xo):Xo x0f(xo +x)- f(xo)则 f'(xo)= limAxAr->0f(xo)≥0 (△x→0-)> f'(xo)= 0f*(xo)≤0 (△x -→0+)证毕oleo0x费马目录上页下页返回结束
费马(Fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 (或) 证: 设 则 0 0 x y o 0 x 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
yy=f(x)罗尔(Rolle)定理y=f(αx)满足(1)在区间[a，bl上连续0xasb (2)在区间(α,b)内可导(3) f(a)=f(b)一>在(α,b)内至少存在一点 ,使 f()=0证:因f(x)在[a,b]上连续,故在[a，b]上取得最大值M和最小值m.若 M=m,则 f(x)=M, xE[a,bl因此Ve(a,b), f'()=0.oleoex机动自录上页下页返回结束
罗尔( Rolle)定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f () = 0. x y o a b y = f (x) 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若M>m，则M和m中至少有一个与端点值不等不妨设 M f(a),则至少存在一点 (a,b),使f()= M,则由费马引理得 f()=0.注意：例如,1)定理条件不全具备，结论不一定成立y0≤x<1x,f(x0,x=10xyVf(x) = xf(x) = xx e[0,1]x E[-1,1]00xx1e000x机动目录上页下页返回结束
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f () = 0. 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 1 x y o 则由费马引理得 1 x y −1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束