第二章第一节导数的概念一、引例二、 导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系O00l0x机动目录上页下页返回结束
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念 第二章
一、 引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为s = f(t)则t.到t的平均速度为自由落体运动f(t)- f(to)22=2gt2t-to而在 t.时刻的瞬时速度为f(to)f()sf(t)- f(to)0ttov= limt-tot-→toleo00x机动目录上页下页返回结束
一、 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 0 t 则 到 的平均速度为 v = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 而在 时刻的瞬时速度为 lim 0 t t v → = ( ) ( ) 0 f t − f t 0 t − t 2 2 1 s = gt s o ( )0 f t f (t) t 自由落体运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.曲线的切线斜率Lf(x)V=曲线 C:y=f(x)在 M点处的切线NT割线MN的极限位置MTMc(当→α时)0xX0x切线 MT的斜率α?k = tanα = lim tan@-αf(x)- f(xo)割线 MN的斜率 tan@ :x-Xof(x)- f(xo)k= lim 兰x-Xox-→xoo1o0x机动自录上页下页返回结束
x y o y = f (x) C 2. 曲线的切线斜率 曲线 N T 0 x M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 tan = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 切线 MT 的斜率 lim tan → = lim 0 x x k → = ( ) ( ) 0 f x − f x 0 x − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(to)f(t)sf(t) - f(to)0to瞬时速度 v= limyt-tot→>toy= f(x)//Nf(x)- f(xo)切线斜率 k= limTMCx-xox-→xo2两人问题的共性xox0xα0所求量为函数增量与自变量增量之比的极限类似问题还有加速度是速度增量与时间增量之比的极限变化率问题角速度是转角增量与时间增量之比的极限线密度是质量增量与长度增量之比的极限电流强度是电量增量与时间增量之比的极限O000x机动目录上页下页返回结束
两个问题的共性: s o 0 t ( )0 f t f (t) 瞬时速度 t 切线斜率 x y o y = f (x) C N T 0 x M x 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 导数的定义定义1.设函数 y=f(x)在点 x,的某邻域内有定义Aylim f(x)-f(x) = limAy= f(x)- f(x)若△x=x-xox→xox-Xo△x→0 △ x存在,则称函数f(x)在点x.处可导并称此极限为y= f(x)在点x,的导数.记作:df(x)dyyx=xo ; f'(xo);dx x = xodxx = xoAy|x=xo = f(xo) = lim即△x0 △xf(xo +△x)- f(xo)f(xo +h)- f(xo)2 = lim= limh△xh->0△x->0oeoDex机动目录上页下页返回结束
二、导数的定义 定义1 . 设函数 在点 0 lim x→x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − x y x = →0 lim ( ) ( )0 y = f x − f x 0 x = x − x 存在, 并称此极限为 记作: ; 0 x x y = ( ) ; 0 f x ; d d 0 x x x y = d 0 d ( ) x x x f x = 即 0 x x y = ( ) 0 = f x x y x = →0 lim 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束