Th.泰勒中值定理：若f(x)在包含xo的某开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则当 xE(α,b)时,有X.f(x) = f(xo) + f'(xo)(x-xo) +2!-xo)"+ R,(x)1n!()+其中R,(x)(在xo 与x之间) ②XX(n+l)!公式①称为f(x)的n阶泰勒公式公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项o0o0108泰勒自录上页下页返回结束
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . Th. 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在x 与x之间 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到?Rn(x) = o[(x-xo)n在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为"(xf(x)= f(xo) + f(xo)(x- xo) +"2!-xo)" +o[(x-xo)"]4n!公式③称为n阶泰勒公式的皮亚诺(Peano）余项O0000x机动目录上页下页返回结束
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的皮亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x) = f(xo) + f(xo)(x- xo)+.:2!(En+1x一Xn!(n+1)!(在xo与x之间特例:(1)当 n=0时,泰勒公式给出拉格朗日中值定理f(x)= f(xo) + f'()(x -xo)(三在xo 与x之间)(2)当 n =1 时,泰勒公式变为Cf(x) = f(xo)+ f'(xo)(x - xo)2(在xo 与x之间)l f(x) ~ f(xo)+ f'(xo)(x-xo)可见dff"(s)误差(x-xo)2(在x与x之间)R(x)2!0o010x机动目录上页下页返回结束
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 + f x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 ( ) 2! ( ) x x f − + 可见 误差f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间 ) 0 ( 在x 与x之间 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在泰勒公式中若取 xo=0,=x（0<<1),则有(0)f"(0)rf(x) = f(O)+ f'(0)xx2!n!f(n+1) (0 x)n+1(n+l)!称为麦克劳林（Maclaurin）公式。由此得近似公式f"(0)f(x) ~ f(O) + f'(O)x2!n!n-) (x)若在公式成立的区间上≤ M,则有误差估计式M[n+1Rn(x)|≤x(n+1)!Oo00x麦克劳林目录上页下页返回结束
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 0 , (0 1) , x0 = = x 则有 f (0)+ f (0)x 2 + 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 在泰勒公式中若取 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在x 与x之间 f (x) f (0) + f (0)x + ( ) , ( 1) f x M n + 则有误差估计式 1 ( 1)! ( ) + + n n x n M R x 2 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 若在公式成立的区间上 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式(l) f(x) =erEexf(k=1,2,...1V23nx+21+x+Rx2!3!n!0xen+1其中(0<0<1)Rn(x)X(n+l)!O000x机动目录上页下页返回结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式 ( ) , (k) x f x = e (0) 1 ( 1,2, ) f (k ) = k = x e =1 + x 3! 3 x + + n ! x n + R (x) + n 2! 2 x + 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束