第一章第二节极限运算法则一、无穷小运算法则极限的四则运算法则二、三、 复合函数的极限运算法则oleoolox机动自录上页下页返回结束
第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则
一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小证：考虑两个无穷小的和.设 limα =0，lim β=0,x→xox-→>xo>0,>0,当0<|x-x< 时,有α<号,>0,当 0<|x-<,时,有|β<号取S=min(Si,S2 ,则当 0<|x-xol< 时,有[α+β≤|α|+β|<+=8lim (α + β)= 0因此x-→xo这说明当x→xo时，α+β为无穷小量1eo0x机动自录上页下页返回结束
= min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！例如，lim n=12n~+2元n>00n+元n+n元Oo00x机动目录上页下页返回结束
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， + + + + + → n + n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小证:设VxeU(xo,S),|u|≤M又设 lim α=0,即>0,S,>0,当xU(xo,2)x→xo时,有α|≤取=min(Si,2,则当 xU(xo,S)时,就有[uα|=αM·=1故limuα=o,即uα是x→xo时的无穷小x→>xo推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小oeol00x机动自录上页下页返回结束
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
sinx例1. 求 lim2xx-0sinx1x解：：|sinx≤1xlim = = 0x->0 xsin x0lim利用定理 2 可知xx-00sin x的渐近线。说明：y=0是y2xoleolo0x机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束