第四章一元函数积分学及其应用不定积分定积分定积分的应用
第四章 一元函数积分学及其应用 不定积分 定积分 定积分的应用
第四章第一节不定积分（一原函数与不定积分的概念基本积分表、三、不定积分的性质1eo00x机动自录上页下页返回结束
二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分(一) 第四章
一、原函数与不定积分的概念引例：一个质量为 m的质点,在变力F = Asint 的作下沿直线运动，试求质点的运动速度v(t)FA根据牛顿第二定律，加速度 α(t)===-sintmmA因此问题转化为:已知 v(t)==sint,求 v(t)=?m定义 1.若在区间I上定义的两个函数 F(x)及f(x)满足 F(x)=f(x)或 dF(x)= f(x)dx,则称 F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数A44如引例中,=sint的原函数有cost+3, ..COSmmmoeoo0x机动目录上页下页返回结束
一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A
问题：1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？2.若原函数存在，它如何表示？定理1．若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数，初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数1eo00x机动自录上页下页返回结束
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都在函数族F（x)+C（C为任意常数）内证: 1) : (F(x)+C)'= F'(x) = f(x). F(x)+C是f(x)的原函数2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即Φ'(x)= f(x)又知F'(x)= f(x). [Φ(x)- F(x)}'=Φ'(x)-F'(x) = f(x)- f(x) = 0故Φ(x)=F(x)+Co (Co为某个常数)即 Φ(x)=F(x)+C。属于函数族 F(x)+C.olololox机动自录上页下页返回结束
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [(x) − F(x)] = (x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0为某个常数 即 0 (x) = F(x) +C 属于函数族 F(x) +C . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即