第一节第四章不定积分（3)：分部积分法(uv)'= u'v +uv由导数公式积分得：u'vdx + I uv'dxuv =uv'dx = uv - [ u'vdx分部积分公式或{ud=v-{vdu选取u及v'(或dv)的原则：1）容易求得；2)「u'vdx比「uv'dx容易计算olelollox机动目录上页下页返回结束
第一节 由导数公式 (uv) = u v + uv 积分得: uv = u vdx + uv dx 分部积分公式 uv dx uv u v dx = − 或 ud v uv v du = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分(3): 分部积分法 第四章
分部积分法的应用1.用于求形如：J p,(x)e*dx, J p,(x)sinmxdx, p,(x)cos mxdx,的不定积分.常令 u= p,(x)Ixcos x dx.例1.求解：令 u= x，v'=cosx,则 u'=l, v=sinxI sin x dx： 原式 =xsinx -1= xsin x+cosx +CO0000x机动目录上页下页返回结束
例1. 求 ( ) , ( )sin , ( )cos , ax p x e dx p x mxdx p x mxdx n n n 解: 令 u = x, v = cos x, 则 u =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x − sin x dx = xsin x + cos x +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法的应用 1. 用于求形如： 的不定积分. 常令 ( ) n u p x =
例2.求「xe*dx提示:令 u= x，dv=edx.x'sin xdx?思考：如何求提示:令u= x2, '= sin x,则原式 =-x2 cosx +2[xcos xdxOe000x机动目录上页下页返回结束
思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v = sin x, 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 x xe dx 提示: 令 u x = , , x dv e dx =
2.用于求形如：J p,(x)In xdx, J p,(x)arcsin xdx, J p,(x)arctan xdx,等的不定积分.常令dv= p,(x)dx例3. 求[x ln xdx.解：令 u=lnx，v'=x115则ZVX2x12原式dxXX22112+CXX.X24O10000x机动自录上页下页返回结束
例3. 求 x ln x dx. 解: 令 u = ln x, v = x 则 , 1 x u = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2 − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )ln , ( )arcsin , ( )arctan , n n n p x xdx p x xdx p x xdx 2. 用于求形如： 等的不定积分. 常令 ( ) n dv p x dx =
例4. 求[ x arctan x dx.解:令 u= arctanx, v'= x112则uV=-x221+ x212.原式dxarctan x+22X112dxarctan xX22+x12 arctan x)+Carctan xXA22oAo00x机动目录上页下页返回结束
例4. 求 x arctan x dx. 解: 令 u = arctan x, v = x 则 , 1 1 2 x u + = 2 2 1 v = x ∴ 原式 x arctan x 2 1 2 = + − x x x d 2 1 1 2 2 x arctan x 2 1 2 = + − − x x ) d 1 1 (1 2 1 2 x arctan x 2 1 2 = − (x − arctan x) +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束