第三章第五节曲线的凹凸性与函数作图曲线的凹凸性一、 由曲线的渐近线二、三、函数图形的描绘1000x机动目录上页下页返回结束
第五节 二、 曲线的渐近线 三、 函数图形的描绘 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线的凹凸性与函数作图 第三章 一、 曲线的凹凸性
一、曲线的凹凸性与拐点定义.设函数f(x)在区间I上连续,Vxi,x2 EIf(xi)+ f(x2)(1 +x2)则称f(αx)的(1)若恒有,22图形是凹的f(xi)+ f(x2)(2)若恒有f(+)则称f(x)的22图形是凸的y连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为拐点0xOeloo0?机动目录上页下页返回结束
A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上凹弧和凸弧的分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 一、曲线的凹凸性与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.(凹凸判定法)设函数f(x)在区间I上有二阶导数(1)在I内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的：±/(2)在I内f"(x)<0,则f(x)在I内图形是凸的。^证：Vxi,x I,利用一阶泰勒公式可得f"(S)Xi + X2Xi +X2f(x)= f(+*2)X+X2X1X2!22X +xf"(E2+Xi+X2X1-f(x2)= f(1X22!2222两式相加f(x)+ f(x2)=2f(i+x+("_")?[f"(5)+ f"(≤2)]2当f"(x)>0时, f(xi)+f(x2)+X2f(i说明(1)成立22证毕(2)O0000x机动目录上页下页返回结束
定理1.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2! ( ) 1 f + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2! ( ) 2 f + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f + f 当f (x) 0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立; (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕
例1.判断曲线=x^的凹凸性解: y'= 4x3,y"=12x2当x±0时，y">0;x=0时,y"=00x故曲线=x4在（-0,+8）上是向上凹的说明：1)若在某点二阶导数为0，在其两侧二阶导数不变号则曲线的凹凸性不变。根据拐点的定义及上述定理，可得拐点的判别法如下2）若曲线y=f(x)在点xo连续,f"(xo)=0或不存在但f"(x)在xo两侧异号则点(xo,f(xo）)是曲线y=f(x)的一个拐点OeD0X机动自录上页下页返回结束
例1. 判断曲线 的凹凸性. 解: 4 , 3 y = x 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求曲线V=3/x的拐点解: y'=1x%, "=--x%0(0,+ 80)(-80,0)xJ"+不存在凹y凸0V因此点（00）为曲线=3/x的拐点x0O0000x机动目录上页下页返回结束
例2. 求曲线 的拐点. 解: , 3 2 3 1 − y = x 3 5 9 2 − y = − x x y y (−,0) 0 (0,+ ) 不存在 0 + − 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 机动 目录 上页 下页 返回 结束