上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 例：证明F[1]=2πδ(o),f[e']=2πδ(0-o) 证明： -'2πo】=6(o)edo=eL =1, F-'[2π(@-o】=δ(o-o)eodo 0=00
0 0 : [1] 2 ( ), [ ] 2 ( ) i t e ω 例 证明F F = πδ ω = − πδ ω ω 1 0 [2 ( )] ( ) 1, it it ed e ω ω ω πδ ω δ ω ω +∞ − −∞ = = = = ∫ F 证明： 0 0 1 0 0 [2 ( )] ( ) i t i t i t e d e e ω ω ω ω ω πδ ω ω δ ω ω ω +∞ − −∞ = −= − = = ∫ F
上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §7.4 Fourier?变换的性质
§7.4 Fourier变换的性质
上游充大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 假定涉及函数的F变换或F1变换均存在 1.线性性质 设F(w)=Ff()小，F2(w)=F/2(小，a,b是常 数，则 F[4f()+bf(]=F(w)+bF2(w) 这个性质的作用是很显然的，它表明了函数 线性组合的F变换等于各函数F变换的线性组合. 它的证明只需根据定义就可推出. 同样，F-逆变换亦具有类似的线性性质，即 FaF (w)+bF2(w)af()+bf(t)
设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常 数, 则 F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) 这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数 线性组合的F-变换等于各函数F-变换的线性组合. 它的证明只需根据定义就可推出. 同样,F-逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t) 1. 线性性质 假定涉及函数的F-变换或F-1-变换均存在
上游究通大 芒钲明[1]=2πδ(o),F[ew]=2πδ(0-o) f[coso]=f[° 2 -2xa-a+2ao+a》 =π((0-0)+(0+0)） 同样有 F[sin0]=iπ（δ(0+o)-δ(0-o)） 思考：f[(sino,)2]=?
( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 [cos [ ] [] [ ] 22 2 1 2( ) ] ( 2( ) 2 )( ) it it e e i t i t t e e ω ω ω ω ω π δω ω δω ω πδ ω ω πδ ω ω − − ⇒ + = = + = −+ + = −+ + F F FF [sin ] ( ) ( ) ω π δω ω δω ω 0 00 t i = +− − ( ) 同样有 F 0 0 [1] 2 ( ), [ ] 2 ( ) i t e ω 已证明F F = πδ ω = − πδ ω ω 2 0 思考： F[(sin ) ] ? ω t =
上游充通大 2.对称性质 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 若F[f(t)]=F(o),则还成立： F[F(t)]=2πf(-ω) 证明：由F1-变换的定义 fo)=2元F --12aJoean 0k →F[F(t]=2πf(-w)=F(t)eodt
2. 对称性质 [ ( )] ( ), [ ( )] 2 ( ) Ft f ft F π ω ω = − 若 = 则还成立: F F 1 1 () ( ) 2 1 ( ) () 2 [ ( )] 2 ( ) ( ) i i t i t t t F ft F e d ft F ed F t f F t e dt ω ω ω ω ω ω π ω ω π π ω − +∞ −∞ +∞ − −∞ +∞ − − ↔ ∞ − = ⇒ −= ⇒ = −= ∫ ∫ ∫ 证明：由 变换的定义 F