证明 由于函数可微，则增量可表示为 f(xo+Ax,yo+Ay)-f(xo,Yo)=f(xo,Yo)Ax+f,(xo,Yo)Ay+o(p) 其中p=V(△x)2+(4y),由于点(x+△x,+△y)在上，所以有 △x=tc0sa,△y=tcos B,故 f(xo+tcosa,yo+tcos B)-f(xo,yo) t =f(%o+Ax,yo+Ay)-f(xo,yo) p
0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) t 证明 由于函数可微，则增量可表示为 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) x y f x x y y f x y f x y x f x y y o 2 2 其中 ( ) ( ) , x y 0 0 由于点( , ) x x y y l 在 上，所以有 x t y t cos , cos , 故 0 0 0 0 f x x y y f x y ( , ) ( , )
=fx+Ax,+Ay)-fx） △x f(xo,Yo) +f,() Ay (p) coSQ cos B 所以 O lim f(xo+tcosa,Yo+tcosB)-f(xo2yo) t-→0* t =f(o,yo)cosa+f(xo2Vo)cos B
cos cos 0 0 0 0 f x x y y f x y ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( ) ( , ) ( , ) x y x y o f x y f x y 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( cos , cos ) ( , ) lim t x y f f x t y t f x y l t 所以 0 0 0 0 ( , )cos ( , )cos x y f x y f x y
例1求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0) 到点Q(2,-1)的方向的方向导数 解这里方向卿为PQ={1,-1} 故x轴到方向的转角φ=- 4 Ox -ev-1 Oz 0xa,0) 0y1,0) -2.xe2 所求方向导数 背m-草+2m-孕-号
例 1 求函数 y z xe 2 在点P(1,0)处沿从点P(1,0) 到点Q(2,1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向l 的转角 4 . 1; (1,0) 2 (1,0) y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0) y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos( l z . 2 2 这里方向l PQ 即为 {1, 1}
例2求函数fx,y)=x2-y+y2在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为α的方向射线的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值；(2)最小值； (3)等于零？ 解由方向导数的计算公式知 ar =f (1,1)cosa+f,(1,1)sina ala.D =(2x-y)cosa+(2y-x)sina
例 2 求函数 2 2 f (x, y) x xy y 在点（1，1） 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 解 (1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f 由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) x y y x
cos a+sin o =Zsin(+经 故 (1) 当a=亚时， 方向导数达到最大值√2； 4 (2)当0=4 π时，方向导数达到最小值-v2; (3)当0= =7π时，方向导数等于0. 3沉和0=4
cos sin ), 4 2 sin( 故 （1）当 4 时， 方向导数达到最大值 2; （2）当 4 5 时， 方向导数达到最小值 2 ; （3）当 4 3 和 4 7 时， 方向导数等于 0